Integral de ∫cos4x+sin4x1+cos4x√dx∫cos4⁡x+sin4⁡x1+cos⁡4xdx\int{\frac{\cos^4x + \sin^4x}{\sqrt{1 + \cos 4x}}dx }

Question

Integral de ∫cos4x+sin4x1+cos4x√dx∫cos4⁡x+sin4⁡x1+cos⁡4xdx\int{\frac{\cos^4x + \sin^4x}{\sqrt{1 + \cos 4x}}dx }

cálculo
integración
Matemáticas
trigonometría
Integrales indefinidas

El conocedor

¿Cómo integramos lo siguiente?

$\int{\frac{\cos^4x + \sin^4x}{\sqrt{1 + \cos 4x}}dx}$ dado que $\cos 2x \gt 0$

Traté de simplificar esto, pero parece que no puedo continuar más allá del siguiente formulario:

$\int{\frac{\sec2x}{\sqrt{2}}dx + \sqrt{2}\int{\frac{\sin^2x\cos^2x}{\cos2x}dx}}$

$\implies \frac{1}{2\sqrt2}\log |\sec 2x + \tan 2x| + \sqrt{2}\int{\frac{\sin^2x\cos^2x}{\cos^2x-\sin^2x}dx} + C$

La respuesta que se supone que debo obtener es:

$\frac{x}{\sqrt2}+C$

¡Por favor ayuda, gracias!

Respuestas (5)

Integral de ∫cos4x+sin4x1+cos4x√dx∫cos4⁡x+sin4⁡x1+cos⁡4xdx\int{\frac{\cos^4x + \sin^4x}{\sqrt{1 + \cos 4x}}dx }

miguel rozenberg · Answer 1

Usar

\frac{{pecado}^{4} X + {porque}^{4} X}{\sqrt{1 + porque 4 X}} = \frac{1 - \frac{1}{2} {pecado}^{2} 2 X}{\sqrt{2} porque 2 X} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} {porque}^{2} 2 X}{\sqrt{2} porque 2 X} = \frac{porque 2 X}{2 \sqrt{2} (1 - {pecado}^{2} 2 X)} + \frac{1}{2 \sqrt{2}} porque 2 X =

$\frac{\sin^4x+\cos^4x}{\sqrt{1+\cos4x}}=\frac{1-\frac{1}{2}\sin^22x}{\sqrt2\cos2x}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos^22x}{\sqrt2\cos2x}=\frac{\cos2x}{2\sqrt2(1-\sin^22x)}+\frac{1}{2\sqrt2}\cos2x=$

= \frac{1}{4 \sqrt{2}} (\frac{porque 2 X}{1 + pecado 2 X} + \frac{porque 2 X}{1 - pecado 2 X}) + \frac{1}{2 \sqrt{2}} porque 2 X .

$=\frac{1}{4\sqrt2}\left(\frac{\cos2x}{1+\sin2x}+\frac{\cos2x}{1-\sin2x}\right)+\frac{1}{2\sqrt2}\cos2x.$

Lo siento, cometí un error en la pregunta... Déjame corregirlo.
¡Allá! El $1 + \cos4x$ en el denominador se suponía que estaba bajo una raíz
¿No debería la simplificación de $\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos^22x}{\sqrt2\cos2x}$ ser $\frac{1 + \cos^22x}{2\sqrt2\cos2x}$ ? que luego daría $\frac{1}{2\sqrt{2}\cos2x} + \frac{cos2x}{2\sqrt{2}}$ ?
Entendí el resto, pero la cosa es que cuando trato de volver del paso 4 al paso 3, obtengo una respuesta diferente. es decir, estoy recibiendo $\frac{1+cos2x}{2\sqrt2 cos2x}$ en lugar de $\frac{1+cos^22x}{2\sqrt2 cos2x}$ :/
Debería ser $\frac{1+\cos^22x}{2\sqrt2\cos2x}$ porque $\sin^22x=1-\cos^22x.$ Puedo mostrar otra forma de conseguirlo si quieres.
No tengo dudas en eso. Estoy hablando del paso que viene después de la sustitución mencionada anteriormente. Lo que trato de decir es que su expansión de $\frac{1+cos^22x}{2\sqrt2cos2x}$ podría estar equivocado...
$\frac{1+\cos^22x}{2\sqrt2\cos2x}=\frac{\cos2x}{2\sqrt2\cos^22x}+\frac{\cos2x}{2\sqrt2}.$ ¿Estas de acuerdo conmigo?
Dios mío, todo este tiempo leí mal $1-sin^22x$ como $1-2sin^22x$ ... Lamento mucho las molestias ocasionadas. Si, totalmente de acuerdo contigo :)

laboratorio bhattacharjee · Answer 2

Usando $\cos2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1,$

I = \frac{{pecado}^{4} X + {porque}^{4} X}{\sqrt{1 + porque 4 X}} = \frac{(1 - porque 2 X)^{2} + (1 + porque 2 X)^{2}}{4 \sqrt{2} | porque 2 X |} = \frac{1 + {porque}^{2} 2 X}{2 \sqrt{2} | porque 2 X |}

$I=\dfrac{\sin^4x+\cos^4x}{\sqrt{1+\cos4x}}=\dfrac{(1-\cos2x)^2+(1+\cos2x)^2}{4\sqrt2|\cos2x|}=\dfrac{1+\cos^22x}{2\sqrt2|\cos2x|}$

Para $\cos2x>0,$

2 \sqrt{2} I = segundo 2 X + porque 2 X

$2\sqrt2I=\sec2x+\cos2x$

Ahora usa la Integral de la función secante

Rudr Pratap Singh · Answer 3

Descubrí por qué nadie obtiene esa respuesta: la pregunta es incorrecta, la pregunta (correcta) es

\int \frac{{porque}^{4} X - {pecado}^{4} X}{\sqrt{1 + porque 4 X}} d X

$\int \frac{\cos^4 x-\sin^4 x}{\sqrt{1+\cos4x}} \ \text{d}x$

@Rócherz, ¿puedes ayudarnos a escribir ecuaciones matemáticas como las que editaste?
Esto no proporciona una respuesta a la pregunta. Una vez que tenga suficiente reputación, podrá comentar cualquier publicación ; en su lugar, proporcione respuestas que no requieran aclaración por parte del autor de la pregunta . - De la revisión
@ user264745 esto realmente responde la pregunta, aunque las circunstancias aquí parecen bastante inusuales, pero esta respuesta aparentemente resuelve la confusión.

haqnatural · Answer 4

$\int \frac{{porque}^{4} X + {pecado}^{4} X}{\sqrt{1 + porque 4 X}} d X = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{{({pecado}^{2} X + {porque}^{2} X)}^{2} - 2 {pecado}^{2} X {porque}^{2} X}{\sqrt{{porque}^{2} 2 X}} d X = = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1 - \frac{{pecado}^{2} 2 X}{2}}{porque 2 X} d X = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \frac{2 - {pecado}^{2} 2 X}{porque 2 X} d X = = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \frac{{porque}^{2} 2 X + 1}{porque 2 X} d X = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [\int porque 2 X d X + \int \frac{d X}{porque 2 X}] = = \frac{1}{4 \sqrt{2}} \int d (pecado 2 X) + \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \frac{porque 2 X d X}{{porque}^{2} 2 X} = = \frac{pecado 2 X}{4 \sqrt{2}} + \frac{1}{4 \sqrt{2}} \int \frac{d (pecado 2 X)}{1 - {pecado}^{2} 2 X} = \frac{pecado 2 X}{4 \sqrt{2}} + \frac{1}{8 \sqrt{2}} [\int \frac{d (pecado 2 X)}{1 - pecado 2 X} + \int \frac{d (pecado 2 X)}{1 + pecado 2 X}] = = \frac{pecado 2 X}{4 \sqrt{2}} + \frac{1}{8 \sqrt{2}} [\int \frac{d (1 + pecado 2 X)}{1 + pecado 2 X} - \int \frac{d (1 - pecado 2 X)}{1 - pecado 2 X}] = = \frac{pecado 2 X}{4 \sqrt{2}} + \frac{1}{8 \sqrt{2}} en | \frac{1 + pecado 2 X}{1 - pecado 2 X} | + C$ $\int { \frac { \cos ^{ 4 } x+\sin ^{ 4 } x }{ \sqrt { 1+\cos4x } } dx } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \int { \frac { { \left( \sin ^{ 2 }{ x+\cos ^{ 2 }{ x } } \right) }^{ 2 }-2\sin ^{ 2 }{ x\cos ^{ 2 }{ x } } }{ \sqrt { \cos ^{ 2 }{ 2x } } } dx } =\\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \int { \frac { 1-\frac { \sin ^{ 2 }{ 2x } }{ 2 } }{ \cos { 2x } } } dx=\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } \int { \frac { 2-\sin ^{ 2 }{ 2x } }{ \cos { 2x } } } dx=\\ =\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } \int { \frac { \cos ^{ 2 }{ 2x } +1 }{ \cos { 2x } } } dx=\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } \left[ \int { \cos { 2xdx } } +\int { \frac { dx }{ \cos { 2x } } } \right] =\\ =\frac { 1 }{ 4\sqrt { 2 } } \int { d\left( \sin { 2x } \right) } +\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } \int { \frac { \cos { 2xdx } }{ \cos ^{ 2 }{ 2x } } } =\\ =\frac { \sin { 2x } }{ 4\sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 4\sqrt { 2 } } \int { \frac { d\left( \sin { 2x } \right) }{ 1-\sin ^{ 2 }{ 2x } } } =\frac { \sin { 2x } }{ 4\sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 8\sqrt { 2 } } \left[ \int { \frac { d\left( \sin { 2x } \right) }{ 1-\sin { 2x } } } +\int { \frac { d\left( \sin { 2x } \right) }{ 1+\sin { 2x } } } \right] =\\ =\frac { \sin { 2x } }{ 4\sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 8\sqrt { 2 } } \left[ \int { \frac { d\left( 1+\sin { 2x } \right) }{ 1+\sin { 2x } } } -\int { \frac { d\left( 1-\sin { 2x } \right) }{ 1-\sin { 2x } } } \right] =\\ =\frac { \sin { 2x } }{ 4\sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 8\sqrt { 2 } } \ln { \left| \frac { 1+\sin { 2x } }{ 1-\sin { 2x } } \right| + } C\\$

Esto es bastante bueno, pero ¿cómo se supone que debo simplificar esto a la respuesta dada?
puedes simplificar $\sin { 2x } =2\sin { x } \cos { x }$ o vas más lejos como $\ln { \left| \frac { 1+\sin { 2x } }{ 1-\sin { 2x } } \right| = } \ln { \left| \frac { \sin ^{ 2 }{ x } +2\sin { x\cos { x } +\cos ^{ 2 }{ x } } }{ \sin ^{ 2 }{ x } -2\sin { x\cos { x } +\cos ^{ 2 }{ x } } } \right| = } \\ =\ln { \left| \frac { { \left( \sin { x } +\cos { x } \right) }^{ 2 } }{ { \left( \sin { x } -\cos { x } \right) }^{ 2 } } \right| = } \ln { \left| \frac { \sin { x+\cos { x } } }{ \sin { x } -\cos { x } } \right| }$
Yo también hice eso, pero no está cerca de la respuesta requerida... pero supongo que es algo que ni siquiera pude integrar antes: D
¿Cómo puede ser una respuesta?) Quieres decir que la derivada de tu respuesta es la expresión bajo integral, ¿verdad?
Por supuesto que es falso que $\sqrt{2\cos^22x}=\sqrt{2}\cos2x$ . Por otro lado, en cada intervalo donde la función está definida, $\cos2x$ tiene signo constante, por lo que el argumento se puede rectificar fácilmente.

Rocherz · Answer 5

Si $\cos 2x > 0$ y el integrando está mal como señala Rudr Pratap Singh, entonces:

\begin{aligned} \frac{{porque}^{4} X - {pecado}^{4} X}{\sqrt{1 + porque 4 X}} & = \frac{({porque}^{2} X + {pecado}^{2} X) ({porque}^{2} X - {pecado}^{2} X)}{\sqrt{2 {porque}^{2} 2 X}} \\ = \frac{(1) (porque 2 X)}{\sqrt{2} | porque 2 X |} \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\cos^4 x-\sin^4 x}{\sqrt{1+\cos 4x}} &= \frac{(\cos^2x+\sin^2x)(\cos^2x-\sin^2x)}{\sqrt{2\cos^2 2x}} \\ &= \frac{(1)(\cos 2x)}{\sqrt2|\cos2x|} \\ &= \frac 1 {\sqrt2}. \end{align}$ Por eso,

\int \frac{{porque}^{4} X - {pecado}^{4} X}{\sqrt{1 + porque 4 X}} d X = \frac{X}{\sqrt{2}} + C,

$\int \frac{\cos^4x-\sin^4x}{\sqrt{1+\cos 4x}} \ \text dx = \frac x {\sqrt2} +c,$ como lo desea OP

Integral de ∫cos4x+sin4x1+cos4x√dx∫cos4⁡x+sin4⁡x1+cos⁡4xdx\int{\frac{\cos^4x + \sin^4x}{\sqrt{1 + \cos 4x}}dx }

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