¿Cuál es la aparente contradicción en esta integral?

cálculo
integración
Matemáticas
Integrales indefinidas

Wrloord

Estaba resolviendo este ejercicio, sin embargo se plantea que existe una posible contradicción en el ejercicio pero no puedo determinar cuál es.

La idea es encontrar la integral de $\int{\frac{1}{\sin(x)\cos(x)}dx}$ Para tal efecto, se expresa lo siguiente

$\int{\frac{1}{\sin(x)\cos(x)}dx}=\int{\frac{\cot(x)}{\cos^2(x)}dx}=\int{\cot(x)\tan'(x)dx}=\cot(x)\tan(x)-\int{\tan(x)\cot'(x)dx}=1+\int{\frac{\tan(x)}{\sin^2(x)}dx}=1+\int{\frac{1}{\sin(x)\cos(x)}dx}$

¿Dónde ocurre la falla? gracias por su ayuda.

Respuestas (2)

serpiente

No hay fracaso. has demostrado que

\int \frac{1}{pecado (X) porque (X)} d X = 1 + \int \frac{1}{pecado (X) porque (X)} d X,

$\int{\frac{1}{\sin(x)\cos(x)}dx}=1+\int{\frac{1}{\sin(x)\cos(x)}dx},$ lo cual es correcto, incluso si no ayuda: recuerda que

\int f (x) d x

$\int f(x)\,dx$ denota el conjunto de todas las antiderivadas de

f (x)

$f(x)$ , todos los cuales son una constante aparte uno del otro. Esto significa que en general es cierto que para cualquier función

f (x)

$f(x)$ tenemos

\int f (x) d x = 1 + \int f (x) d x

$\int f(x)\,dx = 1 + \int f(x)\,dx$ . Tu deducción es correcta, pero no conduce a una solución de la integral.

(Para resolver realmente la integral, puede usar la sustitución de medio ángulo de Weierstrass , es decir $t=\tan(\frac{x}{2})$ , y puedes simplificar de antemano usando $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ .)

Wrloord

Estuve consultando y se me ocurrió una idea interesante, es claro que al realizar una integración por partes se le debe sumar una constante, en este caso tenemos la constante

1

$1$ , cuando debería ser la constante

1 + C

$1+C$ ; pero no estoy muy seguro de eso.

serpiente

@BAYRONIGNASIOLEONCIPRIAN El punto es que el símbolo

\int f (x) d x

$\int f(x)\,dx$ ya incluye en él todas las constantes, porque significa "el conjunto de todas las antiderivadas de

f (x)

$f(x)$ ". Cuando escribimos

\int f (x) d x = F (x) + C

$\int f(x)\,dx = F(x)+C$ el lado derecho tiene que tener el

+ C

$+C$ añadido, pero cuando ambos lados tienen la

\int

$\int$ firmar entonces el significado de

\int f (x) d x = \int g (x) d x

$\int f(x)\, dx = \int g(x)\, dx$ es que el conjunto de todas las antiderivadas de

f (x)

$f(x)$ es el conjunto de todas las antiderivadas de

g (x)

$g(x)$ , por lo que no hay necesidad de la constante. Por lo tanto puedes escribir

\int x d x = 1 + \int x d x

$\int x\, dx = 1 + \int x\, dx$ y también

\int x d x = 80 + \int x d x

$\int x\, dx = 80 + \int x\, dx$ etc.

Átila Correia

PISTA

Otra forma de resolver la integral propuesta:

\begin{aligned} \int \frac{d X}{pecado (X) porque (X)} & = 2 \int \frac{d X}{pecado (2 X)} \\ = 2 \int \frac{pecado (2 X)}{{pecado}^{2} (2 X)} d X \\ = - \int \frac{d (porque (2 X))}{1 - {porque}^{2} (2 X)} \\ = \int \frac{d (porque (2 X))}{{porque}^{2} (2 X) - 1} \end{aligned}

$\begin{align*} \int\frac{\mathrm{d}x}{\sin(x)\cos(x)} & = 2\int\frac{\mathrm{d}x}{\sin(2x)}\\\\ & = 2\int\frac{\sin(2x)}{\sin^{2}(2x)}\mathrm{d}x\\\\ & = -\int\frac{\mathrm{d}(\cos(2x))}{1 - \cos^{2}(2x)}\\\\ & = \int\frac{\mathrm{d}(\cos(2x))}{\cos^{2}(2x) - 1} \end{align*}$

¿Puedes tomarlo desde aquí?

¿Cuál es la aparente contradicción en esta integral?

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