¿Cómo resolver ∫dx4−x2√∫dx4−x2\int\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} con sustitución trigonométrica?

la integral

∫ d X 4 − X 2

he encontrado la variable

X = 2 pecado ⁡ θ

X 2 = 4 pecado 2 ⁡ θ

d X = 2 porque ⁡ θ d θ

Que me dio por sustitución

∫ 2 porque ⁡ θ 4 − 4 pecado 2 ⁡ θ d θ
∫ porque ⁡ θ 2 − pecado ⁡ θ d θ
1 2 ∫ porque ⁡ θ d θ − ∫ porque ⁡ θ pecado ⁡ θ d θ
1 2 ∫ porque ⁡ θ d θ − ∫ cuna ⁡ θ d θ
= pecado ⁡ θ 2 − en ⁡ | pecado ⁡ θ | + C

Ahora, si miro la respuesta esperada, debería ser

arcsen ⁡ ( X 2 ) + C

Qué me estoy perdiendo ?

@BrianM.Scott Lo siento, fue un error tipográfico, editado.
Es mejor, pero ese primer paso aún está fuera de lugar: ¿de dónde sacas el primero? 4 en el denominador? Deberías
4 − 4 pecado 2 ⁡ θ = 4 porque 2 ⁡ θ = 2 porque ⁡ θ .
Vaya, en realidad creo que el denominador debería ser 4 − 4 pecado 2 ⁡ θ bien ? Acabo de ver tu edición, genial, este probablemente fue mi error. Déjame ver si puedo solucionarlo.
@BrianM.Scott ¿cómo 4 − 4 s i norte 2 θ se convierte 4 C o s 2 θ ?
4 − 4 pecado 2 ⁡ θ = 4 ( 1 − pecado 2 ⁡ θ ) = 4 porque 2 ⁡ θ , de la identidad pecado 2 ⁡ θ + porque 2 ⁡ θ = 1 . Es por eso que usas la sustitución trigonométrica.
@BrianM.Scott Genial, entonces pude resolver θ , pero ¿cómo se convierte eso arcsen ⁡ ( X 2 ) ?
Recordar que X = 2 pecado ⁡ θ , y resolver para θ en términos de X .
Ya veo, bueno muchas gracias ahora entiendo!
¡De nada!
no es X = 2 t , por lo que la integral se convierte en ∫ 1 1 − t 2 d t = arcsen ⁡ t + C , ¿más fácil? ¿Cuál es el propósito de una sustitución trigonométrica complicada?
@egreg Ya sabemos que hay una solución más fácil, sin embargo, como estamos comenzando a aprender la sustitución trigonométrica, nos piden que demostremos el caso simple.

Respuestas (4)

Sustitución de X = 2 pecado ⁡ θ implica que 4 − X 2 = 4 − 4 pecado 2 ⁡ θ = 2 porque ⁡ θ . Entonces,

∫ d X 4 − X 2 = ∫ porque ⁡ θ d θ porque ⁡ θ = θ + C
dónde C es una constante de integración. Pero, θ = arcsen ⁡ ( X 2 ) . Entonces,

∫ d X 4 − X 2 = arcsen ⁡ ( X 2 ) + C

Su sustitución es correcta, pero debería haber 4 − 4 pecado 2 ⁡ θ en el denominador. No puedes descomponer la raíz cuadrada como lo has hecho. Además, porque ⁡ θ 2 − pecado ⁡ θ no es lo mismo que 1 2 porque ⁡ θ − porque ⁡ θ pecado ⁡ θ . Intente hacer esto con números; no funcionará allí, y tampoco funcionará aquí.

Gracias por la respuesta, pero Brian M. Scott ya señaló esto en los comentarios.

Tu gran error es que aparentemente pensaste que 4 − 4 pecado 2 ⁡ θ es lo mismo que 4 − 4 pecado 2 ⁡ θ . Nada es correcto después de eso.

¿Necesitas usar sustitución trigonométrica? Porque puedes resolverlo más fácilmente usando sustitución regular. Primero:

∫ d X 4 ( 1 − X 2 4 ) = 1 2 ∫ d X 1 − ( X 2 ) 2
Usamos la sustitución X 2 = t ; d X 2 = d t .
Ahora tenemos:
∫ d t 1 − t 2 = a r C s i norte t = a r C s i norte X 2 + C

¿Cómo resolver ∫dx4−x2√∫dx4−x2\int\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} con sustitución trigonométrica?
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