Integrar ∫2cosx−sinx3sinx+5cosxdx∫2cos⁡x−sin⁡x3sin⁡x+5cos⁡xdx\int\frac{2\cos x-\sin x}{3\sin x+5\cos x }\,dx

¿Cómo puedo evaluar esta integral?

∫ 2 porque ⁡ X − pecado ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X d X

Intenté usar la fórmula de medio ángulo.

pecado ⁡ X = 2 broncearse ⁡ X 2 1 + broncearse 2 ⁡ X 2 , porque ⁡ X = 1 − broncearse 2 ⁡ X 2 1 + broncearse 2 ⁡ X 2

sustituido y simplificado tengo

∫ 2 − 2 broncearse 2 ⁡ X 2 − 2 broncearse ⁡ X 2 5 broncearse 2 ⁡ X 2 + 6 broncearse ⁡ X 2 − 5 d X
sustituido broncearse 2 ⁡ X 2 = segundo 2 ⁡ X 2 − 1
∫ 4 − 2 segundo 2 ⁡ X 2 − 2 broncearse ⁡ X 2 5 ( broncearse ⁡ X 2 + 3 5 ) 2 − 34 5 d X
no puedo eliminar broncearse ⁡ X 2 término en el numerador. Creo que no estoy en la dirección correcta. Se agradece su ayuda para resolver esta integral. gracias de antemano

Respuestas (4)

El truco que uso para resolver integrales con pecado ⁡ X y porque ⁡ X con coeficientes variables en el numerador y el denominador de la siguiente manera.

Para su integral, considere las dos integrales fáciles:

∫ 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X d X = X + C ∫ 3 porque ⁡ X − 5 pecado ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X d X = en ⁡ | 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X | + C
Ahora, establezca un sistema de ecuaciones como el siguiente:
∫ 2 porque ⁡ X − pecado ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X d X = ∫ A ( 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X ) + B ( 3 porque ⁡ X − 5 pecado ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X ) d X
tal que,
2 porque ⁡ X = 5 A porque ⁡ X + 3 B porque ⁡ X
− pecado ⁡ X = 3 A pecado ⁡ X − 5 B pecado ⁡ X
A = 7 34 y B = 11 34
∫ 2 porque ⁡ X − pecado ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X d X = ∫ 7 34 ( 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X ) + 11 34 ( 3 porque ⁡ X − 5 pecado ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X ) d X
∫ 2 porque ⁡ X − pecado ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X d X = 7 X 34 + 11 en ⁡ | 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X | 34 + C

Muy hermoso... en el en falta el valor absoluto.
@Sebastiano Gracias. Lo arreglé.
un coeficiente 11 34 también falta
Hola, también he agregado una pregunta para tu respuesta: math.stackexchange.com/questions/3734680/…

Las reglas de Bioche dicen que debes usar la sustitución

t = broncearse ⁡ X , d X = d t 1 + t 2 ,
obtener la integral de una función racional en t , que puede calcular a través de la descomposición de fracciones parciales.

Nunca he escuchado las reglas de Bioche :-) ¿Qué es? :-)
Es para la integral de una función racional de funciones trigonométricas. Dice que la sustitución se determina de la siguiente manera: considere la forma diferencial ω ( X ) = F ( t ) d X . Si ω ( − X ) = F ( − X ) d ( − X ) = ω ( X ) , luego establezca t = porque ⁡ X . Si ω ( π − X ) = ω ( X ) , colocar t = pecado ⁡ X . Si ω ( t + π ) = ω ( t ) , colocar t = broncearse ⁡ X . Si, lamentablemente, ninguno funciona, siempre utiliza las fórmulas de duplicación y puede establecer t = broncearse ⁡ X 2 . Si dos funcionan, puede establecer t = alguna función trigonométrica de 2x$. Puedes ver las reglas de Bioche en Wikipedia, o si lees francés, Règles de Bioche .
Graciasuuuu.. Pensé en los briosches :-))))
¿Una pequeña integral trigonométrica para el desayuno del domingo? :-)
No, no... por favor... Debo desintoxicarme de las matemáticas y la física :-))))))

Reescribe el numerador: 2 porque ⁡ X − pecado ⁡ X = 7 34 ( 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X ) + 11 34 d d X ( 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X )

∫ 2 porque ⁡ X − pecado ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X
= ∫ 7 34 ( 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X ) + 11 34 ( 3 porque ⁡ X − 5 pecado ⁡ X ) 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X d X
= 7 34 ∫   d X + 11 34 ∫ 3 porque ⁡ X − 5 pecado ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X d X
= 7 34 ∫   d X + 11 34 ∫ d ( 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X ) 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X
= 7 X 34 + 11 34 en ⁡ | 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X | + C

No sé por qué tantos votos negativos. ¡No sé qué tiene de malo esta respuesta!
Para mi humilde opinión: nada. Para mí no está muy claro, por ejemplo, 2 porque ⁡ X − pecado ⁡ X = A ( 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X ) + B d d X ( 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X ) . Sin embargo cuando he visto el -2 lo he ajustado con +1 por mi parte.
@Sebastiano Gracias. Ajusté el numerador como la suma de su denominador y la derivada del denominador. Puede ser que haya creado confusión. Gracias por tu sugerencia.
Es un placer para mí dar sugerencias y votos positivos. Todavía no entiendo por qué obtuviste votos negativos. Siempre te deseo todo lo mejor.

pista

dividiendo por porque ⁡ ( X ) y poner broncearse ⁡ ( X ) = t , se vuelve

∫ ( 2 − t ) d t ( 5 + 3 t ) ( 1 + t 2 )

= 1 34 ∫ ( 33 5 + 3 t + − 11 t + 7 t 2 + 1 ) d t

= 11 34 ∫ 3 d t 5 + 3 t − 11 68 ∫ 2 t d t t 2 + 1 +
7 34 ∫ d t t 2 + 1

Creo que además necesita fracciones parciales.
Integrar ∫2cosx−sinx3sinx+5cosxdx∫2cos⁡x−sin⁡x3sin⁡x+5cos⁡xdx\int\frac{2\cos x-\sin x}{3\sin x+5\cos x }\,dx
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