Integrar : ∫x2(xcosx−sinx)(xsinx+cosx)dx∫x2(xcos⁡x−sin⁡x)(xsin⁡x+cos⁡x)dx\int \frac{x^2}{(x\cos x -\sen x)(x\sen x +\cos x)}dx

Question

Integrar : ∫x2(xcosx−sinx)(xsinx+cosx)dx∫x2(xcos⁡x−sin⁡x)(xsin⁡x+cos⁡x)dx\int \frac{x^2}{(x\cos x -\sen x)(x\sen x +\cos x)}dx

cálculo
integración
Matemáticas
trigonometría
Integrales indefinidas

sachin

$\int \frac{X^{2}}{(X porque X - pecado X) (X pecado X + porque X)} d X$ $\int \frac{x^2}{(x\cos x -\sin x)(x\sin x +\cos x)}\ dx$

Mi acercamiento :

Dividiendo el denominador por $\cos^2x$ obtenemos $\dfrac{x^2\sec^2x }{(x -\tan x)(x\tan x +1)}$ entonces

\int \frac{X^{2} {segundo}^{2} X}{X^{2} broncearse X - X {broncearse}^{2} X + X - broncearse X} d X = \int \frac{X^{2} (1 + {broncearse}^{2} X)}{X^{2} broncearse X - X {broncearse}^{2} X + X - broncearse X} d X

$\int \frac{x^2\sec^2x}{x^2\tan x -x\tan^2x+x-\tan x}\ dx=\int \frac{x^2(1+\tan^2x)}{x^2\tan x -x\tan^2x+x-\tan x}dx$

Pero no obtengo ninguna relación entre el numerador y el denominador, por lo que tomaré cualquier sustitución y resolveré más. Por favor, sugiera si es correcto y cómo proceder en esto. Gracias.

Tunk Fey

Usa fracciones parciales.

abiesu

Parece que el denominador tiene muchas ocurrencias de doble ángulo; ¿has repartido la multiplicación directamente?

ross milikan

Para obtener funciones trigonométricas en la fuente correcta, use una barra invertida antes de ellas. Entonces \sin da

\sin

$\sin$ Hice el título.

Respuestas (5)

Integrar : ∫x2(xcosx−sinx)(xsinx+cosx)dx∫x2(xcos⁡x−sin⁡x)(xsin⁡x+cos⁡x)dx\int \frac{x^2}{(x\cos x -\sen x)(x\sen x +\cos x)}dx

Parece que el denominador tiene muchas ocurrencias de doble ángulo; ¿has repartido la multiplicación directamente?
Para obtener funciones trigonométricas en la fuente correcta, use una barra invertida antes de ellas. Entonces \sin da $\sin$ Hice el título.

Tunk Fey · Answer 1

PISTA :

Reescribir el integrando

\frac{X^{2}}{(X porque X - pecado X) (X pecado X + porque X)}

$\frac{x^2}{(x\cos x -\sin x)(x\sin x +\cos x)}$ como

\frac{X porque X}{X pecado X + porque X} + \frac{X pecado X}{X porque X - pecado X}

$\frac{x\cos x}{x\sin x +\cos x}+\frac{x\sin x}{x\cos x -\sin x}$ entonces

\frac{pecado X + X porque X - pecado X}{X pecado X + porque X} + \frac{porque X + X pecado X - porque X}{X porque X - pecado X} .

$\frac{\color{red}{\sin x}+x\cos x-\color{red}{\sin x}}{x\sin x +\cos x}+\frac{\color{blue}{\cos x}+x\sin x-\color{blue}{\cos x}}{x\cos x -\sin x}.$ Ahora deja

u = x \sin x + \cos x

$u=x\sin x +\cos x$ y

v = x \cos x - \sin x

$v=x\cos x -\sin x$ .

Señor, ¿cómo lo resolveremos más? ¿Alguna pista? No puedo resolverlo más.
Esta genial. ¿Puedo preguntar cómo obtienes una fuente de color diferente?

juantheron · Answer 2

$\bf{Another \; Solution::}$ Dejar $\displaystyle I = \int\frac{x^2}{(x\sin x+\cos x)\cdot (x\cos x-\sin x)}dx$

Ahora $\displaystyle I = \int\frac{2x^2}{(x^2\sin 2x+2x\cos^2 x-2x\sin^2 x-\sin 2x)}dx$

Entonces $\displaystyle I = \int\frac{2x^2}{(x^2-1)\sin 2x+2x\cos 2x}dx$

Ahora $\displaystyle (x^2-1)\sin 2x+2x\cos 2x = \sqrt{(x^2-1)^2+(2x)^2}\cdot \left\{\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)\sin 2x+\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)\cos 2x\right\}$

Ahora podemos escribir $\displaystyle (x^2-1)\sin 2x+2x\cos 2x = (x^2+1)\cdot \sin (2x+\alpha)$

Dónde $\displaystyle \displaystyle \left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right) = \cos \alpha$ y $\displaystyle \left(\frac{2x}{x^2+1}\right)=\sin \alpha$

y entonces $\displaystyle\tan \alpha = \left(\frac{2x}{x^2-1}\right)\Rightarrow \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{x^2-1}\right)$

Tan Integral $\displaystyle I = \int \csc(2x+\alpha)\cdot \left(\frac{2x^2}{x^2+1}\right)dx$

Ahora deja $\displaystyle (2x+\alpha) = t\Rightarrow \left\{2x+\tan^{-1}\left(\frac{2x}{x^2-1}\right)\right\} = t\;,$ Entonces $\displaystyle \left(\frac{2x^2}{x^2+1}\right)dx=dt$

Tan Integral $\displaystyle I = \int \csc tdt = \ln \left|\tan \frac{t}{2}\right|+\mathcal{C} = \ln \left|\tan \left(x+\frac{\alpha}{2}\right)\right|+\mathcal{C}$

juantheron · Answer 3

$\bf{My\; Solution::\; }$ Dejar $\displaystyle I = \int\frac{x^2}{(x\sin x+\cos x)\cdot (x\cos x-\sin x)}dx$

Dejar $x=\tan \theta\;,$ Entonces $dx = \sec^2 \theta d\theta.\;\;$ Entonces

I = \int \frac{{broncearse}^{2} θ \cdot {segundo}^{2} θ}{(broncearse θ \cdot pecado (broncearse θ) + porque (broncearse θ)) \times (broncearse θ \cdot porque (broncearse θ) - pecado (broncearse θ))} d θ

$I = \displaystyle \int \frac{\tan^2 \theta\cdot \sec^2 \theta }{(\tan \theta\cdot \sin(\tan \theta)+\cos(\tan \theta) )\times (\tan \theta\cdot \cos(\tan \theta)-\sin(\tan \theta) )}d\theta$

Entonces

I = \int \frac{{broncearse}^{2} θ \cdot {segundo}^{2} θ \cdot {porque}^{2} θ}{(pecado θ \cdot pecado (broncearse θ) + porque (broncearse θ) \cdot porque θ) \times (pecado θ \cdot porque (broncearse θ) - pecado (broncearse θ) \cdot porque θ)} d θ

$\displaystyle I = \int\frac{\tan^2 \theta\cdot \sec^2 \theta\cdot \cos^2 \theta }{(\sin \theta\cdot \sin(\tan \theta)+\cos(\tan \theta)\cdot \cos \theta )\times (\sin \theta\cdot \cos(\tan \theta)-\sin(\tan \theta)\cdot \cos \theta )}d\theta$

Entonces

I = \int \frac{2 {broncearse}^{2} θ}{2 porque (θ - broncearse θ) \cdot pecado (θ - broncearse θ)} d θ = \int \frac{2 {broncearse}^{2} θ}{pecado (2 θ - 2 broncearse θ)} d θ

$\displaystyle I = \int\frac{2\tan^2 \theta}{2\cos(\theta-\tan \theta)\cdot \sin(\theta-\tan \theta)}d\theta = \int\frac{2\tan^2 \theta}{\sin (2\theta-2\tan \theta)}d\theta$

Ahora deja $\displaystyle (2\theta-2\tan \theta) = u\;\;,$ Entonces $(2-2\sec^2 \theta)d\theta = du\Rightarrow 2\tan^2\theta d\theta = -du$ Entonces

I = - \int \frac{1}{pecado tu} d tu = - \int \csc tu d tu = - en broncearse (\frac{tu}{2}) + C = - en broncearse (θ - broncearse θ) + C

$\displaystyle I = -\int\frac{1}{\sin u}du = -\int \csc u du = -\ln \tan \left(\frac{u}{2}\right)+\mathbb{C}=-\ln \tan \left(\theta -\tan \theta\right)+\mathbb{C}$

Entonces

I = en | \frac{porque (θ - broncearse θ)}{pecado (θ - broncearse θ)} | + C = en | \frac{porque θ \cdot porque (broncearse θ) + pecado θ \cdot pecado (broncearse θ)}{pecado θ \cdot porque (broncearse θ) - porque θ \cdot pecado (broncearse θ)} | + C

$\displaystyle I = \ln\left|\frac{\cos (\theta-\tan \theta)}{\sin (\theta-\tan \theta)}\right|+\mathbb{C} = \ln\left|\frac{\cos \theta \cdot \cos (\tan \theta)+\sin \theta \cdot \sin(\tan \theta)}{\sin \theta \cdot \cos (\tan \theta)-\cos \theta \cdot \sin(\tan \theta)}\right|+\mathbb{C}$

Entonces

I = en | \frac{pecado (broncearse θ) \cdot broncearse θ + porque (broncearse θ)}{porque (broncearse θ) \cdot broncearse θ - pecado (broncearse θ)} | + C = en | \frac{X pecado X + porque X}{X porque X - pecado X} | + C

$\displaystyle I = \ln\left|\frac{\sin (\tan \theta)\cdot \tan \theta+\cos(\tan \theta)}{\cos (\tan \theta)\cdot \tan \theta-\sin (\tan \theta)}\right|+\mathbb{C} = \ln \left|\frac{x\sin x+\cos x}{x\cos x-\sin x}\right|+\mathbb{C}$

Entonces

\int \frac{X^{2}}{(X pecado X + porque X) \cdot (X porque X - pecado X)} d X = en | \frac{X pecado X + porque X}{X porque X - pecado X} | + C

$\int\frac{x^2}{(x\sin x+\cos x)\cdot (x\cos x-\sin x)}dx=\ln \left|\frac{x\sin x+\cos x}{x\cos x-\sin x}\right|+\mathbb{C}$

jamesj · Answer 4

\begin{aligned} I & = \int \frac{X^{2} d X}{(X pecado X + porque X) (X porque X - pecado X)} \\ = - \int \frac{X^{2} d X}{(1 + X^{2}) (\frac{X}{\sqrt{1 + X^{2}}} pecado X + \frac{1}{\sqrt{1 + X^{2}}} porque X) (\frac{1}{\sqrt{1 + X^{2}}} pecado X - \frac{X}{\sqrt{1 + X^{2}}} porque X)} \\ = - \int \frac{(1 - \frac{1}{1 + X^{2}}) d X}{porque (X - arcán X) pecado (X - arcán X)} \\ = - \int \frac{d (X - arcán X)}{porque (X - arcán X) pecado (X - arcán X)} \\ = - \int \frac{d (2 (X - arcán X))}{pecado (2 (X - arcán X))} \\ = - en | broncearse (X - arcán X) | + C . \end{aligned}

$\begin{align} I &= \int\frac{x^2dx}{(x\sin x+\cos x)(x\cos x-\sin x)} \\ &= -\int\frac{x^2dx}{(1+x^2)\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\cos x\right)\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\sin x-\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cos x\right)}\\ &=-\int\frac{\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)dx}{\cos (x-\arctan x)\sin (x-\arctan x)}\\ &=-\int\frac{d(x-\arctan x)}{\cos (x-\arctan x)\sin (x-\arctan x)}\\ &=-\int\frac{d(2(x-\arctan x))}{\sin (2(x-\arctan x))}\\ &=-\ln|\tan (x-\arctan x)|+C. \end{align}$

bouzari abdelkader · Answer 5

$\displaystyle u=x\sin x+\cos x,v=x\cos x-\sin x \Rightarrow \displaystyle du=x\cos xdx,dv=-x\sin xdx$

$\begin{align}\displaystyle\int\frac{x^{2}dx}{(x\sin x+\cos x)(x\cos x-\sin x)}&=\int\left(\frac{x\cos x}{x\sin x+\cos x}-\frac{-x\sin x}{x\cos x-\sin x}\right)dx\\&=\displaystyle\int\frac{du}{u}-\int\frac{dv}{v}\\&=\ln\left| \frac{u}{v} \right|+c\end{align}$

$\displaystyle\int\frac{x^{2}dx}{(x\sin x+\cos x)(x\cos x-\sin x)}=\ln\left| \frac{x\sin x+\cos x}{x\cos x-\sin x} \right|+c$

Integrar : ∫x2(xcosx−sinx)(xsinx+cosx)dx∫x2(xcos⁡x−sin⁡x)(xsin⁡x+cos⁡x)dx\int \frac{x^2}{(x\cos x -\sen x)(x\sen x +\cos x)}dx

sachin

Tunk Fey

abiesu

ross milikan

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Tunk Fey

diya

Doug

juantheron

juantheron

jamesj

bouzari abdelkader

Integra ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

¿Hay restricciones que he olvidado para Integración por sustitución trigonométrica o estoy cometiendo algún otro error?

¿Cómo resolver ∫dx4−x2√∫dx4−x2\int\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} con sustitución trigonométrica?

Integre ∫sinxcosxsin4x+cos4xdx∫sin⁡xcos⁡xsin4⁡x+cos4⁡xdx\int \frac{\sin x \cos x}{\sin^4x + \cos^4x} \,dx

Se agregó una fórmula de ángulo para resolver esta integral indefinida ∫2cosx−sinx3sinx+5cosxdx∫2cos⁡x−sin⁡x3sin⁡x+5cos⁡xdx\int\frac{2\cos x-\sin x}{3\sin x+5\ cos x }\,dx

Evalúa ∫cos2(x)tan3(x)dx∫cos2⁡(x)tan3⁡(x)dx\int \cos^2(x)\tan^3(x) dx usando sustitución trigonométrica

Maneras de evaluar ∫secθdθ∫sec⁡θdθ\int \sec \theta \, \mathrm d \theta

Integral de ∫cos4x+sin4x1+cos4x√dx∫cos4⁡x+sin4⁡x1+cos⁡4xdx\int{\frac{\cos^4x + \sin^4x}{\sqrt{1 + \cos 4x}}dx }

¿Cuál es la aparente contradicción en esta integral?

Evalúa ∫sin(x−α)sin(x+α)−−−−−−√dx∫sin⁡(x−α)sin⁡(x+α)dx\int \sqrt{ \frac {\sin(x) -\alpha)} {\sin(x+\alpha)} }\,\operatorname d\!x?