Primero, alguna manipulación preliminar.
pecadox porqueXpecado4x +porque4X=pecadox porqueX( 1 -porque2X)2+porque4X=pecadox porqueX2porque4x − 2porque2x + 1=4 pecadox porqueX8porque4x − 8porque2X + 1 + 3=4 pecadox porqueXporque4x + 3 _
El último paso utiliza la fórmula del ángulo cuádruple para el coseno . Ahorapecado2 x = 2 pecadox porqueX
, usando esto dos veces se obtiene:
4 pecadox porqueXporque4x + 3 _=2 pecado2x _porque4x + 3 _=2 pecado2 x porque2x _( porque4 x + 3 ) porque2x _=pecado4x _( porque4 x + 3 ) porque2x _
Ahora podemos usar la fórmula del medio ángulo para el coseno , que esporqueX2=1 + porqueX2−−−−−√
.
pecado4x _( porque4 x + 3 ) porque2x _=pecado4x _( porque4x + 3 ) _1 + porque4x _2−−−−−−√=2–√× pecado4x _( porque4x + 3 ) _porque4 x + 3 − 2−−−−−−−−−−−√
Ha llegado el momento de sustituirlo portu = porque4x + 3 _
. Entoncesdu = − 4 sen4 x profundidad X
y
∫2–√× pecado4x _( porque4x + 3 ) _porque4 x + 3 − 2−−−−−−−−−−−√ dX=2–√− 4∫1tutu - 2−−−−−√ dtu
Para terminar esta integral relativamente simple, hice otra sustitución, esta vez cont =tu - 2−−−−−√
ydtu = 2 t re t
.
2–√− 4∫1tutu - 2−−−−−√ dtu =2–√− 4∫2 toneladastú t dt=2–√− 2∫1t2+ 2 dt
Esta es una integral que implicaarcán
:
2–√− 2∫1t2+ 2 dt = -12arcán(t2–√) = −12arcán(tu - 2−−−−−√2–√)= −12arcán(porque4x + 1 _2−−−−−−−−−√) = −12arcán( porque2x ) _
Verificando con wolframalpha , esto diferencia el resultado correcto.
Brevan Ellefsen
Brevan Ellefsen