Representación de una rotación alrededor de un eje arbitrario utilizando la matriz DDD de Wigner

Question

Representación de una rotación alrededor de un eje arbitrario utilizando la matriz DDD de Wigner

grjj3

Se sabe que una rotación arbitraria se puede expresar en términos de tres rotaciones consecutivas llamadas rotaciones de Euler. Entonces, en lugar de expresar el operador de rotación como $\hat{R}(\hat{n},\phi) = \exp\left(-\frac{i\phi}{\hbar} \hat{n}\cdot\vec{J}\right )$ uno puede escribir $\hat{R}(\alpha,\beta,\gamma) = \hat{R}_z(\alpha)\hat{R}_y(\beta)\hat{R}_z(\gamma)$ dónde $(\alpha,\beta,\gamma)$ son los llamados ángulos de Euler. Mi pregunta es bastante simple: ¿cuál es la relación entre un determinado $\hat{n}$ y $(\alpha,\beta,\gamma)$ ?

Déjame ser más específico. Supongamos que tenemos un spin- $1/2$ sistema y algo de spinor $|\chi\rangle$ asociado a ello. Ahora, supongamos que quiero rotar este espinor en un ángulo $\phi = 2\pi$ alrededor de un eje arbitrario $\hat{n}=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ , dónde $\theta,\varphi$ son los ángulos polares y acimutales habituales en el sistema de coordenadas esférico original. Obviamente, podemos usar la siguiente identidad

\hat{R} (\hat{norte}, ϕ) = I porque \frac{ϕ}{2} - i (\hat{norte} \cdot \vec{σ}) pecado \frac{ϕ}{2}

$\hat{R}(\hat{n},\phi) = \mathbb{I}\cos \frac{\phi}{2} - i(\hat{n}\cdot\vec{\sigma}) \sin\frac{\phi}{2}$ y concluir que

\hat{R} (\hat{n}, ϕ = 2 π) = - I

$\hat{R}(\hat{n},\phi=2\pi)=-\mathbb{I}$ para cualquier

\hat{n}

$\hat{n}$ . Pero luego quería ver si se puede obtener el mismo resultado usando las matrices D de Wigner (que están vinculadas a las rotaciones de Euler). Evidentemente, primero se debe rotar el sistema de coordenadas original de modo que uno de sus ejes se alinee con

\hat{n}

$\hat{n}$ y luego girar

| χ ⟩

$|\chi\rangle$ alrededor de ese eje. Pero, ¿cómo se puede hacer esto exactamente en solo tres pasos (ángulos)? Inicialmente pensé que la secuencia correcta debería ser

α = φ, β = θ, γ = ϕ

$\alpha=\varphi,\beta=\theta,\gamma=\phi$ , sin embargo, para el ejemplo mencionado anteriormente, se obtiene:

D_{{metro}^{'} metro}^{j = 1 / 2} (φ, θ, ϕ = 2 π) = (\begin{matrix} - {mi}^{- i φ / 2} porque \frac{θ}{2} & - {mi}^{- i φ / 2} pecado \frac{θ}{2} \\ {mi}^{i φ / 2} pecado \frac{θ}{2} & - {mi}^{i φ / 2} porque \frac{θ}{2} \end{matrix}) \neq - I

$D_{m'm}^{j=1/2}(\varphi ,\theta,\phi=2\pi ) = \begin{pmatrix} -e^{-i\varphi/2} \cos \frac{\theta}{2} & -e^{-i\varphi/2} \sin \frac{\theta}{2}\\ e^{i\varphi/2} \sin \frac{\theta}{2} & -e^{i\varphi/2} \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \neq - \mathbb{I}$

Cosmas Zachos

¿ Estás en conflicto con la definición ? Puedes componer los tres ángulos de Euler a un

ϕ \hat{n}

$\phi \hat n$ .

grjj3

@CosmasZachos: entiendo la definición, pero no estoy seguro de la relación exacta entre los ángulos de Euler y

\hat{n}

$\hat{n}$ . Los ángulos propuestos

α = φ, β = θ, γ = ϕ = 2 π

$\alpha=\varphi,\beta=\theta,\gamma=\phi = 2\pi$ (que intuitivamente tiene sentido) en realidad no producen

D_{m^{'} m}^{j} (α, β, γ) = - I_{2 \times 2}

$D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=-\mathbb{I}_{2\times 2}$ como cabría esperar en el ejemplo mencionado anteriormente. Tenga en cuenta que trabajo en el estándar.

z y z

$zyz$ convención.

grjj3

@CosmasZachos: actualicé mi pregunta y agregué el cálculo de la matriz Wigner-D para

j = 1 / 2

$j=1/2$ y los ángulos propuestos. Claramente, los ángulos propuestos están equivocados y me gustaría entender por qué.

grjj3

Ya propuse una de esas construcciones: primero, necesitamos rotar el sistema de tal manera que uno de sus ejes (digamos

z

$z$ ) apunta en la dirección de

\hat{n}

$\hat{n}$ . Esto se puede lograr tomando

α = φ

$\alpha = \varphi$ (gire el sistema alrededor

z

$z$ por el ángulo acimutal de

\hat{n}

$\hat{n}$ , tal que

\hat{n}

$\hat{n}$ ahora yace en el

x z

$xz$ plano del sistema girado) y

β = θ

$\beta=\theta$ (rote el nuevo sistema a través del ángulo polar de

\hat{n}

$\hat{n}$ sobre el previamente rotado

y

$y$ eje). Ahora, cuando

\hat{n}

$\hat{n}$ y

z

$z$ coincidir, rotar el sistema alrededor

z

$z$ por una cantidad de

ϕ = 2 π

$\phi=2\pi$ . Pero esta construcción parece estar equivocada.

Cosmas Zachos

Bueno, haz un dibujo. Rotaste efectivamente por π alrededor de n en términos pictóricos. Esto no equivale a un reflejo en el sistema de eje fijo, con razón.

Frobenius

Relacionado: Mi respuesta aquí Rotaciones de Euler en el espacio ordinario . Creo que igualando la expresión

A (ψ, θ, ϕ)

$\mathrm{A}\left(\psi,\theta,\phi\right)$ de la ecuación (01) a la expresión

A (n, Φ)

$\mathrm{A}\left(\mathbf{n},\Phi\right)$ de la ecuación (03) de mi respuesta encontrarás el vector

\sin Φ n

$\sin\Phi\mathbf{n}$ en términos de los ángulos de Euler

(ψ, θ, ϕ)

$\left(\psi,\theta,\phi\right)$ .

Respuestas (1)

Representación de una rotación alrededor de un eje arbitrario utilizando la matriz DDD de Wigner

¿ Estás en conflicto con la definición ? Puedes componer los tres ángulos de Euler a un $\phi \hat n$ .
@CosmasZachos: entiendo la definición, pero no estoy seguro de la relación exacta entre los ángulos de Euler y $\hat{n}$ . Los ángulos propuestos $\alpha=\varphi,\beta=\theta,\gamma=\phi = 2\pi$ (que intuitivamente tiene sentido) en realidad no producen $D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=-\mathbb{I}_{2\times 2}$ como cabría esperar en el ejemplo mencionado anteriormente. Tenga en cuenta que trabajo en el estándar. $zyz$ convención.
@CosmasZachos: actualicé mi pregunta y agregué el cálculo de la matriz Wigner-D para $j=1/2$ y los ángulos propuestos. Claramente, los ángulos propuestos están equivocados y me gustaría entender por qué.
Ya propuse una de esas construcciones: primero, necesitamos rotar el sistema de tal manera que uno de sus ejes (digamos $z$ ) apunta en la dirección de $\hat{n}$ . Esto se puede lograr tomando $\alpha = \varphi$ (gire el sistema alrededor $z$ por el ángulo acimutal de $\hat{n}$ , tal que $\hat{n}$ ahora yace en el $xz$ plano del sistema girado) y $\beta=\theta$ (rote el nuevo sistema a través del ángulo polar de $\hat{n}$ sobre el previamente rotado $y$ eje). Ahora, cuando $\hat{n}$ y $z$ coincidir, rotar el sistema alrededor $z$ por una cantidad de $\phi=2\pi$ . Pero esta construcción parece estar equivocada.
Bueno, haz un dibujo. Rotaste efectivamente por π alrededor de n en términos pictóricos. Esto no equivale a un reflejo en el sistema de eje fijo, con razón.
Relacionado: Mi respuesta aquí Rotaciones de Euler en el espacio ordinario . Creo que igualando la expresión $\mathrm{A}\left(\psi,\theta,\phi\right)$ de la ecuación (01) a la expresión $\mathrm{A}\left(\mathbf{n},\Phi\right)$ de la ecuación (03) de mi respuesta encontrarás el vector $\sin\Phi\mathbf{n}$ en términos de los ángulos de Euler $\left(\psi,\theta,\phi\right)$ .

ZeroTheHero · Answer 1

Sospecho que lo que quieres es algo llamado $U^J_{MM'}$ matrices de rotación:

\begin{aligned} {tu}_{METRO {METRO}^{'}}^{j} (ω; Θ, Φ) \equiv ⟨ j METRO | {mi}^{- i ω \hat{norte} \cdot \hat{j}} | j {METRO}^{'} ⟩, \end{aligned}

$\begin{align} U^{J}_{MM'}(\omega;\Theta,\Phi)\equiv \langle JM\vert e^{-i\omega \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\hat{\boldsymbol{J}} } \vert JM'\rangle\, , \end{align}$ dónde

Θ, Φ

$\Theta,\Phi$ determinar el eje de rotación ( es decir, la dirección de

\hat{n}

$\hat{\boldsymbol{n}}$ .)

La fuente de esto es la sección 4.5 de "la biblia".

Varshalovich, DA, Moskalev, AN y Khersonskii, VKM, 1988. Teoría cuántica del momento angular.

En breve, $U^{J}_{MM'}(\omega;\Theta,\Phi)$ se puede ampliar en términos de lo "usual" $D$ -funciones

\begin{aligned} {tu}_{METRO {METRO}^{'}}^{j} (ω; Θ, Φ) = \sum_{{METRO}^{″}} D_{METRO {METRO}^{″}}^{j} (Φ, Θ, - Φ) {mi}^{- i {METRO}^{″} ω} D_{{METRO}^{″} METRO}^{j} (Φ, - Θ, - Φ) . \end{aligned}

$\begin{align} U^{J}_{MM'}(\omega;\Theta,\Phi) =\sum_{M''} D^J_{MM''}(\Phi,\Theta,-\Phi) e^{-i M'' \omega } D^J_{M''M}(\Phi,-\Theta,-\Phi) \, . \end{align}$ La interpretación es clara:

D_{M M^{″}}^{J} (Φ, Θ, - Φ)

$D^J_{MM''}(\Phi,\Theta,-\Phi)$ es una rotación por

Θ

$\Theta$ sobre un eje

{\hat{y}}^{'}

$\hat y'$ en el

x y

$xy$ plano que ha sido rotado por

Φ

$\Phi$ acerca de

\hat{z}

$\hat z$ , y

D_{M^{″} M}^{J} (Φ, - Θ, - Φ)

$D^J_{M''M}(\Phi,-\Theta,-\Phi)$ es la rotación inversa. Por lo tanto, el resultado es una rotación alrededor de

z^{'}

$z'$ que ha sido rotado por

R_{z} (Φ) R_{y} (Θ) R_{z} (- Φ)

$R_z(\Phi)R_y(\Theta)R_z(-\Phi)$ .

Gracias por la gran referencia. Parece haber cierta ambigüedad en los parámetros, porque la forma explícita conveniente $U_{MM^{\prime}}^{J}\left(\omega;\Theta,\Phi\right)=i^{M-M^{\prime}}e^{-i\left(M-M^{\prime}\right)\Phi}\left(\frac{1-i\tan\frac{\omega}{2}\cos\Theta}{\sqrt{1+\tan^{2}\frac{\omega}{2}\cos^{2}\Theta}}\right)^{M+M^{\prime}}d_{MM^{\prime}}^{J}\left(\xi\right)$ rendimientos $\delta_{MM^{\prime}}$ Opuesto a $-\delta_{MM^{\prime}}$ para $J=1/2,\omega=2\pi,\xi=0$ . Por otro lado, si $\xi=2\pi$ entonces el resultado es correcto. Tal vez $\omega$ está restringido a $[0,2\pi)$ ?
Sí, me parece recordar eso. $\omega$ está restringida porque la correspondencia entre los $\Theta,\Phi$ y los ángulos de Euler son geométricos, pero no puedo encontrar el artículo donde leí esto. O tal vez hay un $\pm$ en la raíz cuadrada que se elige con un argumento geométrico.
En §4.5.4, que está dedicado a la ortogonalidad y la completitud, afirman que los parámetros se definen en el dominio $0\leq\Theta\leq\pi,0\leq\Phi<2\pi,0\leq\omega<2\pi$ . Pero más allá de eso, ya que $\xi$ Esta determinado por $\sin\frac{\xi}{2}=\sin\frac{\omega}{2}\sin\Theta$ parece haber una ambigüedad inherente en $d_{MM^{\prime}}^{1/2}(\xi)$ que puede ser $\pm\delta_{MM^{\prime}}$ Dependiendo de $\xi$ . A la luz de esto, ¿cuál sería la forma adecuada de manejar la situación antes mencionada de un spin- $1/2$ sistema con $\omega=2\pi$ (o incluso $\omega=4\pi$ , que trae de vuelta el espinor original)?

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