Rotaciones de Euler en el espacio ordinario

Una rotación de ejes de coordenadas se representa a través de los ángulos de Euler.$\:\psi,\theta,\phi \:$por la matriz, ver Figura 01 ⁽¹⁾ .

$$\begin{equation} \mathrm{A}\left(\psi,\theta,\phi\right)= \begin{bmatrix} \cos\psi \cos\phi - \cos\theta \sin\phi \sin\psi & \cos\psi \sin\phi + \cos\theta \cos\phi \sin\psi & \sin\psi \sin\theta \\ -\sin\psi \cos\phi - \cos\theta \sin\phi \cos\psi & -\sin\psi \sin\phi + \cos\theta \cos\phi \cos\psi & \cos\psi \sin\theta \\ \sin\theta \sin\phi & -\sin\theta \cos\phi & \cos\theta \end{bmatrix} \tag{01} \end{equation}$$ de acuerdo al siguiente esquema

$$\begin{equation} xyz \quad \Longrightarrow \quad \xi \eta \zeta \quad \Longrightarrow \quad \xi' \eta' \zeta' \quad \Longrightarrow \quad x'y'z' \tag{02} \end{equation}$$

La 1ra rotacion$\mathrm{D}$es alrededor del eje$z$por ángulo$\phi$, entonces$\zeta \equiv z$. La segunda rotación$\mathrm{C}$es alrededor del eje$\xi$(el nuevo$x$-eje") por ángulo$\theta$, entonces$\xi' \equiv \xi$. La 3ra rotacion$\mathrm{B}$es alrededor del eje$\zeta'$por ángulo$\psi$, entonces$z' \equiv \zeta'$.

Además, otra representación es a través del ángulo de rotación.$\:\Phi \:$alrededor de una dirección$\:\mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3)\:$, dónde$\:\mathbf{n}\:$un vector unitario y$\:n_1,n_2,n_3\:$es$\:x,y,z\:$componentes respectivamente, ver Figura 02 ⁽²⁾

$$\begin{equation} \mathrm{A}\left(\mathbf{n},\Phi\right)= \begin{bmatrix} \cos\Phi+(1-\cos\Phi)n_1^2 & (1-\cos\Phi)n_1n_2+\sin\Phi n_3 & (1-\cos\Phi)n_1n_3-\sin\Phi n_2\\ (1-\cos\Phi)n_2n_1-\sin\Phi n_3 & \cos\Phi+(1-\cos\Phi)n_2^2 &(1-\cos\Phi)n_2n_3+\sin\Phi n_1\\ (1-\cos\Phi)n_3n_1+\sin\Phi n_2 & (1-\cos\Phi)n_3n_2-\sin\Phi n_1 & \cos\Phi+(1-\cos\Phi)n_3^2 \end{bmatrix} \tag{03} \end{equation}$$

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^{(1) "Mecánica Clásica" , H.Goldstein-C.Poole-J.Safko, 3ra Edición. La Figura 01 es un nuevo dibujo de la FIGURA 4.46. La matriz$\:\mathrm{A}\left(\psi,\theta,\phi\right)\:$, véase la ecuación (01) anterior, es la ecuación 4.46 de la misma. Esta matriz es el producto}

$$\begin{equation} \mathrm{A}=\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D} \tag{foot-01} \end{equation}$$ dónde $$\begin{equation} \mathrm{D}= \begin{bmatrix} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathrm{C}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & \sin\theta \\ 0 & - \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}, \quad \mathrm{B}= \begin{bmatrix} \cos\psi & \sin\psi & 0 \\ -\sin\psi & \cos\psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{foot-02} \end{equation}$$ como en las ecuaciones (4.43), (4.44) y (4.45) del mismo.

^{(2) Para la expresión (03) de$\:\mathrm{A}\left(\mathbf{n},\Phi\right)\:$use la ecuación (08) reemplazando$\:\theta\:$por$\:-\Phi\:$en mi respuesta en - Rotación de un vector -}

^{(3) Sugiero leer la respuesta de David Hammen aquí - Derivación de ángulos de Euler -}

Como respuesta a la última parte de su pregunta, obtengamos la matriz 3x3 para rotar un objeto (por ejemplo, un vector de 3) por$s$radianes sobre una dirección arbitraria especificada por el vector unitario$\hat{n}$. Esto significa colocar el pulgar de la mano derecha a lo largo del vector unitario$\hat{n}$y gire el objeto empujando con los dedos de la mano derecha a través del ángulo$s$. Para mí, esta es una forma mucho más fácil de parametrizar y visualizar una rotación arbitraria que los ángulos de Euler. Defina tres ángulos$(\theta_1,\theta_2,\theta_3)=s \ \hat{n}$. Aviso$s=\sqrt{\theta_1^2+\theta_2^2+\theta_3^2}$.

$$\Theta = \begin{bmatrix} 0 & -\theta_3 & \theta_2 \\ \theta_3 & 0 & -\theta_1 \\ -\theta_2 & \theta_1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$ Primero, suponga que todos los ángulos de rotación son muy pequeños (es decir: <<1), lo cual hacemos dividiendo el $\theta$por un gran $N$. Luego considere rotar un vector en el plano perpendicular a cada uno de los tres ejes, por ejemplo, el ángulo pequeño $\Delta\theta_3=\frac{\theta_3}{N}$sobre el eje 3 para un vector en el plano 1-2. Haciendo dibujos y pensando, concluirá que para estas pequeñas rotaciones $$M(\frac{\Theta}{N})=I+\frac{\Theta}{N}$$ Ahora multiplique N de estas pequeñas rotaciones juntas para obtener la rotación completa por $\Theta$. En el límite de N grande esto es igual a $e^{\Theta}$por una identidad matemática. $$M(\Theta)=\lim_{N\to\infty} (I+\frac{\Theta}{N})^N=e^{\Theta}$$ Finalmente ampliamos $e^{\Theta}$en una serie de potencias y multiplicación matricial $\Theta$'s juntos para calcular cada término. Usted encontrará $\Theta^3=-s^2\Theta$. $$\begin{align} M(\Theta) & =e^{\Theta} \\ & =I+\Theta+\dfrac{\Theta^2}{2!}+ \dfrac{\Theta^3}{3!}+ \dfrac{\Theta^4}{4!} +… \\ & =I+\Theta(1-\frac{s^2}{3!}+\frac{s^4}{5!}-...)+\Theta^2(\frac{1}{2!}-\frac{s^2}{4!}+\frac{s^4}{6!}-...) \\ \\ M(\Theta) & =I+ \frac{\Theta}{s}sin(s)+\frac{\Theta^2}{s^2}(1-cos(s)) \end{align}$$ Este $M(\Theta)$es la matriz para rotar alrededor de un vector arbitrario $\vec{A}$por ángulo $s$. Como ejemplo, supongamos $\vec{A}=(0,0,\theta)$, que es una rotación sobre el eje z por theta. Entonces $s=\theta$y la ecuación final para M produce la matriz de rotación familiar $$M(\Theta) = \begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) & 0 \\ sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$