¿Cómo interpretar los observables de giro construidos por elecciones de fase no estándar?

Si tratamos de encontrar elementos matriciales de operadores de escalera ($J_{\pm}$) para espín cuando actúan sobre estados propios de$J^2$y$J_z$($\newcommand{ket}[1]{\left|#1\right\rangle} \newcommand{avg}[1]{\left\langle#1\right\rangle} \ket{\ j,m}$), como por ejemplo AR Edmonds: Angular Momentum in Quantum Mechanics, o Auletta: Quantum Mechanics, o cualquier otro libro de texto que trate este tema, llegamos a un punto en el que encontramos que:

Normalmente, establecemos$\phi=0$para todas las opciones de m para un j fijo. Ahora, la explicación estándar para esto es que la elección de la fase es arbitraria pero debe seguirse consistentemente (por ejemplo, Edmonds o Condon, Shortley).

Me gustaría señalar algunos problemas con estas explicaciones y luego mostrar lo que sucede si tratamos de jugar con la elección de fase. El punto más importante será que permitiremos la elección de una fase diferente$\phi=\phi(m)$para diferentes m en oposición a la elección de la misma fase para cada m (cuyo caso especial es la elección estándar de$\phi=0$para todos los m). Esta idea proviene del hecho de que no hay razón (al menos obvia) para afirmar que de la derivación estándar de los elementos matriciales de los operadores de escalera se deduce que las fases deben ser las mismas para todos los m.

Veremos el ejemplo de matrices spin=1. La elección estándar de$\phi=0$para todos los elementos de la matriz produce las siguientes matrices de operadores de escalera y luego los observables de espín en la dirección z, x e y:

Ahora, si elegimos establecer la fase para$j_+\ket{1,0}$a 0,$\phi(m=0)=0$, pero para$j_+\ket{1,-1}$lo configuramos en una fase diferente,$\phi(m=-1)=\pi/2$, construimos las siguientes matrices:

Ahora, para dejar las cosas claras, debo señalar que el nuevo$j_x$y$j_y$tienen los mismos valores propios que los estándar y satisfacen la misma vieja álgebra del momento angular, aunque sus estados propios son diferentes. Como resultado, los valores esperados de estos diferentes observables son diferentes en algunas superposiciones de$\ket{1,m}$, lo cual es interesante, ya que eso es lo que observamos en los experimentos.

Como ejemplo, aquí hay un gráfico que muestra cómo los valores esperados de$j_x$y$j_y$sobre el estado$\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\ket{1,1}+\ket{1,0}+\ket{1,-1}\right)$cambia cuando mantenemos la fase$\phi(0)=0$(lo mismo que arriba) pero cambiamos$\phi(-1)$(que es para las matrices anteriores establecidas en$\pi/2$). En el gráfico,$\avg{j_x}$esta en rojo y$\avg{j_y}$esta en azul

Como contraste, aquí hay un gráfico que muestra cómo los valores esperados de$j_x$y$j_y$sobre el estado$\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\ket{1,1}+\ket{1,0}+\ket{1,-1}\right)$cambia cuando cambiamos ambas fases simultáneamente y por igual:$\phi(0)=\phi(-1)=\phi$que es la opción de fase considerada estándar (en los libros de texto) y es equivalente a rotar el sistema de coordenadas alrededor del eje z. Eso es evidente en la forma en que los valores esperados de$j_x$y$j_y$intercambiamos a medida que cambiamos$\phi$. En el siguiente gráfico,$\avg{j_x}$está de nuevo en rojo y$\avg{j_y}$esta en azul

Un punto interesante es que los observables que construimos eligiendo diferentes fases para diferentes elementos de matriz de operadores de escalera, es decir$\phi(0) \neq \phi(-1)$, no se puede escribir como una combinación lineal de los operadores estándar (incluso con coeficientes complejos).

Otra cosa interesante a tener en cuenta es que estos diferentes observables surgen solo para spin>=1, ya que para spin=1/2 solo un elemento de la matriz de los operadores de escalera es diferente de 0.

Mi pregunta es, ¿alguien sabe de una interpretación de estos "$j_x$" y "$j_y$" construimos por diferentes elecciones de fase? Más adelante, ¿alguien sabe de un argumento del que no estoy al tanto, para elegir la misma fase para cada elemento de la matriz en lugar de mi elección de diferentes fases (a mí me parece que la elección estándar es solo un caso especial de una elección más general, pero aún no entiendo cómo interpretar los resultados)?