Estados propios del momento angular orbital en la representación |r⟩|r⟩|\mathbf{r}\rangle

Considere los operadores de momento angular orbital$L^2$y$L_z$. En el$|\mathbf{r}\rangle$representación usando coordenadas esféricas esas acciones de los operadores están dadas por

Ahora, sabemos que$[L^2,L_z]=0$de modo que es posible construir una base de espacio de estado de estados propios simultáneos de ambos$L^2$y$L_z$. También sabemos que los valores propios de$L^2$son de la forma$l(l+1)\hbar^2$con$l$integral o semiintegral. Por otra parte los valores propios de$L_z$son de la forma$m\hbar$y con fijo$l$tenemos eso$m$sólo puede tomar los valores$-l,-l+1,\dots,l-1,l$. Las ecuaciones de valores propios simultáneas son entonces

Ahora, el libro que estoy estudiando (el libro de Mecánica Cuántica de Cohen) dice lo siguiente:

En las ecuaciones de valores propios,$r$no aparece en ningún operador diferencial, por lo que podemos considerarlo como un parámetro y *tomar en cuenta solo el$\theta$- y$\phi$-dependencia de$\psi$. Así, denotamos por$Y_l^m(\theta,\phi)$una función propia común de$L^2$y$L_z$que corresponde a los valores propios$l(l+1)\hbar^2$y$m\hbar$.

$$L^2Y^m_l(\theta,\phi) = l(l+1)\hbar^2Y^m_l(\theta,\phi)$$

$$L_zY^m_l(\theta,\phi)=m\hbar Y^m_l(\theta,\phi)$$

Esas ecuaciones dan la$\theta$- y$\phi$-dependencia de las funciones propias de$L^2$y$L_z$. Una vez que las soluciones$Y^m_l(\theta,\phi)$de estas ecuaciones se ha encontrado, estas funciones propias se obtendrán en la forma:

$$\psi_{l,m}(r,\theta,\phi)=f(r)Y^m_l(\theta,\phi)$$

dónde$f(r)$es una función de$r$que aparece como una constante de integración para la ecuación diferencial parcial.

Ahora, no veo cómo el autor concluye que dado$l$y$m$la función propia$\psi_{l,m}$es de la forma$\psi_{l,m}(r,\theta,\phi) = f(r)Y^m_l(\theta,\phi)$. Esta conclusión a salir de la nada. Por la forma en que están escritas las cosas parece que$Y^m_l$es por definición la función propia correspondiente a$l$y$m$. Pero luego el autor afirma que la función propia es realmente$\psi_{l,m}(r,\theta,\phi)=f(r)Y^l_m(\theta,\phi)$.

De hecho, las ecuaciones que definen las funciones propias de$L^2$y$L_z$son ecuaciones diferenciales Mirando desde este punto,$\psi_{l,m}$es la forma de una solución separable. Pero están los que no son separables.

En general, considerando la forma en que el autor presenta las cosas, ¿ cómo concluye la forma general de funciones propias y cuál es su punto al llamar$Y^m_l$la dependencia angular de las funciones propias