Valores esperados de los operadores LxLxL_x y LyLyL_y en LzLzL_z-eigenstates

Otra respuesta, más sofisticada, utiliza el hecho de que$L_z$genera las rotaciones alrededor del$z$eje.

Con una rotación de$\pi$alrededor$z$puedes invertir el signo de$L_x$(o de la proyección de$\vec{L}$a lo largo de cualquier vector unitario normal a$z$):

$$e^{-i\pi L_z} L_x e^{i\pi L_z} = -L_x$$ Como consecuencia $$\langle a|e^{-i\pi L_z} L_x e^{i\pi L_z}|a \rangle = -\langle a|L_x|a\rangle\tag{1}$$ Pero $e^{i\pi L_z}|a \rangle = e^{i\pi a}|a \rangle$para que (1) cen se reescriba $$\langle a|e^{-i\pi a} L_x e^{i\pi a}|a \rangle = -\langle a|L_x|a\rangle\:,$$ eso es $$\langle a| L_x e^{-i\pi a} e^{i\pi a}|a \rangle = -\langle a|L_x|a\rangle\:,$$ a saber $$\langle a| L_x |a \rangle = -\langle a|L_x|a\rangle\:,$$ eso implica $\langle a|L_x|a\rangle=0$.

Por la definición de valor esperado:

$$\begin{equation} \langle\hat{A}\rangle=\langle a|\hat{A}|a\rangle \end{equation}$$ dónde $\hat{A}$es el observable que le interesa (es decir, $L_x, L_y$para este caso). Usando también las expresiones para $L_x, L_y$: $$\begin{equation} L_x=\frac{L_++L_-}{2}, \quad L_y=\frac{L_+-L_-}{2i} \end{equation}$$ Dado que se encuentra en un estado propio de $L_z$(una |a arbitraria $\rangle$) actuando con estos operadores en ket obtendrá el $|a+1\rangle$, $|a-1\rangle$respectivamente, que son estados ortogonales con respecto a $|a\rangle$. Entonces su resultado será 0 en ambos casos...