¿Qué representan las matrices antisimétricas JiJiJ_i en la mecánica clásica?

Como te refieres en tu pregunta las matrices$\:J_{1},J_{2},J_{3}\:$son hermíticos, no antisimétricos como los llamas en tu última oración. Encontrará una representación de ellos en la nota al pie (1) de mi respuesta aquí: derivar el operador unitario U (R) asociado con una rotación R usando el teorema de Wigner :

$$\begin{equation} \mathcal{S}_{1}\equiv i \begin{bmatrix} 0&\hphantom{\!\!\!-}0&\hphantom{\!\!\!-}0\\ 0&\hphantom{\!\!\!-}0&\!\!\!-1\\ 0&\hphantom{\!\!\!-}1&\hphantom{\!\!\!-}0 \end{bmatrix} ,\quad \mathcal{S}_{2}\equiv i \begin{bmatrix} \hphantom{-}0&\hphantom{\!\!\!-}0&\hphantom{\!\!\!-}1\\ \hphantom{-}0&\hphantom{\!\!\!-}0&\hphantom{\!\!\!-}0\\ -1&\hphantom{\!\!\!-}0&\hphantom{\!\!\!-}0 \end{bmatrix} ,\quad \mathcal{S}_{3}\equiv i \begin{bmatrix} 0&-1&\hphantom{-}0\\ 1&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0\\ 0&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0 \end{bmatrix} \tag{01} \end{equation}$$ Estas matrices no tienen nada que ver y no tienen relación con el momento angular o cualquier otra cantidad en la mecánica clásica .

En mecánica cuántica, si supone que una partícula puntual posee grados de libertad internos, entonces una primera suposición simple es representar su estado no mediante una función de onda escalar.$\:\psi(\mathbf{x})\:$
pero por una función de onda de 3 vectores$\:\boldsymbol{\Psi}(\mathbf{x})$.Además, asumimos que, cuando el estado es rotado por$\:R(\mathbf{n},\theta)\:$, no solo hace$\:\mathbf{x}\:$cambie a$\:\mathbf{x}'=R\mathbf{x}\:$pero también$\:\boldsymbol{\Psi}\:$como un vector de 3 cambios en$\:\boldsymbol{\Psi}'=R\boldsymbol{\Psi}\:$. En este caso hablamos de una partícula vectorial y las matrices representan el momento angular de espín$\:s=1\:$^(*) .

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^{(*) "Mecánica Cuántica" ,Leonard I.Schiff, 3ra edición 1968,McGraw-Hill : Spin de una partícula vectorial (Sección 27 ROTACIÓN, MOMENTO ANGULAR Y GRUPOS UNITARIOS), p.197-199.}

La representación del vector de momento angular orbital${\bf L}$en términos de derivadas tiene un papel en la física clásica. La aparición de derivadas significa que la cantidad sólo tiene sentido en una teoría de campos continuos, de modo que hay un campo definido en cada punto espacial, proporcionando algo que se puede diferenciar.

En tal teoría teoría de campo, la parametrización de configuraciones de campo en términos de estados propios de${\bf L}^{2}$y$L_{z}$es lo mismo que la parametrización en términos de multipolos. El estudio de estos multipolos es un tema importante en electrodinámica, tanto en estática como en teoría de la radiación. En el caso electrostático, el campo dipolar tiene$\ell=1$; un cuadrupolo tiene$\ell=2$, etcétera. Con la radiación multipolar, existe una relación, al igual que en la mecánica cuántica, entre la$(\ell,m)$valores propios que describen el campo y el momento angular orbital que lleva el campo.

Las matrices antisimétricas$J_i$son en realidad (como en la mecánica cuántica) matrices de momento angular.

La forma ordenada de ver esto es considerar

$$R\cdot R^t=1$$ y luego tomar el diferencial de esto: $$dR\cdot R^{t}+ R\cdot dR^t=0 \tag{1}$$ Llamar $dR\cdot R^T=A$, y tenga en cuenta que (1) se puede reescribir como $$A+A^T=0$$ Lo que significa que $A$es antisimétrico. La matriz antisimétrica más general se puede escribir como la combinación lineal $$A= \vec \omega \cdot \vec J$$ dónde $\vec\omega=(\omega_1,\omega_2,\omega_3)$y $J_i$es antisimétrico. Si haces una rotación sobre $\hat z$, entonces $\vec\omega=\omega\hat z$y luego puedes verificar fácilmente que $$R(\omega_3)=\left(\begin{array}{ccc} \cos\omega_3&\sin\omega_3&0 \\ -\sin\omega_3&\cos\omega_3&0\\ 0&0&1\end{array}\right) \tag{2}$$ y eso $$A=dR(\omega)\cdot R^{-1}= \omega_3 \left(\begin{array}{ccc} 0&1&0\\ -1&0&0\\ 0&0&0\end{array}\right)$$ es de hecho antisimétrica, con $J_z$el generador de momento angular sobre $\hat z$. Porque $J_z^2=-I$, no es difícil comprobar que $e^{\omega_3 J_z}$devuelve (2), confirmando que $J_z$es el generador de rotación.

Haciendo lo mismo con$J_y$y$J_x$, puedes comprobar que estas matrices tienen las relaciones de conmutación (sin la "i" por supuesto) de los operadores de momento angular.