Usar simetría para determinar la ruta de decaimiento de un electrón de hidrógeno de |300⟩|300⟩|300\rangle a |100⟩|100⟩|100\rangle

Question

Usar simetría para determinar la ruta de decaimiento de un electrón de hidrógeno de |300⟩|300⟩|300\rangle a |100⟩|100⟩|100\rangle

Merkh

Digamos que tenemos un electrón en estado $|nlm\rangle = |300\rangle$ del átomo de hidrógeno. Por reglas de selección, sabemos que solo puede decaer al estado fundamental de 3 maneras, a saber, a través de la $|21m\rangle$ estado, donde $m = -1,0,1,$ a la que todos caen $|100\rangle$ en el próximo decaimiento. Me gustaría calcular la probabilidad de que el electrón "atraviese" cada uno de los $|21m\rangle, \; m = -1,0,1$ estados En otras palabras, me gustaría calcular la probabilidad de que el electrón tome cada una de las siguientes rutas al decaer,

\begin{aligned} | 300 ⟩ \to & | 21 - 1 ⟩ \to | 100 ⟩ \\ | 300 ⟩ \to & | 210 ⟩ \to | 100 ⟩ \\ | 300 ⟩ \to & | 211 ⟩ \to | 100 ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align} |300\rangle \to &|21-1\rangle \to |100\rangle\\ |300\rangle \to &|210\rangle \to |100\rangle\\ |300\rangle \to &|211\rangle \to |100\rangle. \end{align}$ Sé que la respuesta es

1 / 3

$1/3$ para cada uno, por cálculo de fuerza bruta. Me preguntaba si había algún principio de simetría que permitiera concluir esto de una manera no ondulada a mano.

El cálculo de la fuerza bruta implica computar $\langle 210|z|300\rangle$ y otras integrales desagradables, por lo que sería interesante si uno pudiera "conocer" las probabilidades de la ruta de descomposición sin hacer tales cálculos.

¿Se generalizaría este resultado de "igual probabilidad de cada ruta" para decaer desde cualquier estado? Decir, $|400\rangle?$

Javier

estoy tentado a decir eso

m

$m$ no importa por simetría rotacional, pero no sé si eso se puede convertir en un argumento riguroso.

prahar

Necesitas leer sobre el Teorema de Wigner-Eckart.

Respuestas (1)

Usar simetría para determinar la ruta de decaimiento de un electrón de hidrógeno de |300⟩|300⟩|300\rangle a |100⟩|100⟩|100\rangle

estoy tentado a decir eso $m$ no importa por simetría rotacional, pero no sé si eso se puede convertir en un argumento riguroso.

Asaf · Answer 1

La forma de hacerlo es utilizando el teorema de Wigner-Eckart . La forma en que se aplica a su problema es la siguiente:

⟨ norte yo metro | \vec{r} | {norte}^{'} {yo}^{'} {metro}^{'} ⟩ = ⟨ norte yo | | \vec{r} | | {norte}^{'} {yo}^{'} ⟩ ⟨ {yo}^{'} {metro}^{'} 1 q | yo metro ⟩

$\left\langle nlm |\vec{r}| n'l'm'\right\rangle = \left\langle nl ||\vec{r}|| n'l'\right\rangle \left\langle l' m' 1 q | l m\right\rangle$ donde el segundo factor es un coeficiente de Clebsch-Gordan y

q = - 1, 0, 1

$q=-1,0,1$ indica el tipo de transición.

Por las transiciones que escribiste $|300\rangle \rightarrow |21m\rangle$ , todos los coeficientes de Clebsch-Gordan son iguales e iguales a 1.

Como el factor de Clebsch-Gordan no depende de $n$ puede generalizar este resultado a cualquier $\left| n 0 0\right\rangle$ estado.

Usar simetría para determinar la ruta de decaimiento de un electrón de hidrógeno de |300⟩|300⟩|300\rangle a |100⟩|100⟩|100\rangle

Merkh

Javier

prahar

Respuestas (1)

Asaf

Valores esperados de los operadores LxLxL_x y LyLyL_y en LzLzL_z-eigenstates

¿Podemos probar esto sin un cálculo explícito?

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