¿Cómo funciona r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) se relacionan con el operador de momento angular orbital?

Question

¿Cómo funciona r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) se relacionan con el operador de momento angular orbital?

linuxfreebird

Cuando intenté calcular lo siguiente a mano

\bar{r} \times (\bar{\nabla} \times \bar{F}) - \bar{\nabla} \times (\bar{r} \times \bar{F}),

$\bar{r}\times(\bar{\nabla}\times\bar{F}) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times\bar{F}),$ Noté que algunos de los términos que extraje se parecían a los términos que aparecen en el operador de momento angular angular

\bar{L} = - i ℏ (\bar{r} \times \bar{\nabla}) .

$\bar{L} = -i\hbar(\bar{r}\times\bar{\nabla}).$ ¿Existe una expresión condensada que utilice

\bar{L}

$\bar{L}$ ? Cómo

\bar{r} \times (\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla} \times (\bar{r} \times)

$\bar{r}\times(\bar{\nabla}\times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times)$ se relacionan con el operador de momento angular orbital?

linuxfreebird

Agregué más paréntesis. ¿Eso mejoró la claridad?

presión

No:

\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}

$\vec a \times ( \vec b \times \vec c) \neq (\vec a \times \vec b) \times \vec c$ ...

linuxfreebird

@presión ¿Eso solucionó el problema de los paréntesis?

presión

Sí, lo arregló.

linuxfreebird

@pression Finalmente pude responder la siguiente pregunta: physics.stackexchange.com/questions/103664/… Investigue esta pregunta, porque hay un cuarto componente en el campo.

Respuestas (1)

¿Cómo funciona r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) se relacionan con el operador de momento angular orbital?

No: $\vec a \times ( \vec b \times \vec c) \neq (\vec a \times \vec b) \times \vec c$ ...
@pression Finalmente pude responder la siguiente pregunta: physics.stackexchange.com/questions/103664/… Investigue esta pregunta, porque hay un cuarto componente en el campo.

RC Drost · Answer 1

En la notación de suma de Einstein, escribiríamos

\vec{tu} = \vec{r} \times (\nabla \times \vec{F}) - \nabla \times (\vec{r} \times \vec{F}),

$\vec U = \vec r \times(\nabla\times\vec F) - \nabla\times(\vec r\times\vec F),$ utilizando un símbolo de Levi-Civita

ϵ_{i j k}

$\epsilon_{ijk}$ como:

{tu}_{a} = ϵ_{a b C} r_{b} ϵ_{C d mi} \partial_{d} F_{mi} - ϵ_{a b C} \partial_{b} ϵ_{C d mi} r_{d} F_{mi} .

$U_a = \epsilon_{abc} ~r_b ~\epsilon_{cde} ~\partial_d ~F_e - \epsilon_{abc} ~\partial_b ~\epsilon_{cde} ~r_d ~F_e.$ Desde

ϵ

$\epsilon$ no varía con el espacio podemos conmutarlo con

\partial_{b}

$\partial_b$ a la derecha, que conduce a

{tu}_{a} = ϵ_{a b C} ϵ_{C d mi} (r_{b} \partial_{d} F_{mi} - d_{b d} F_{mi} - r_{d} \partial_{b} F_{mi}),

$U_a = \epsilon_{abc}~\epsilon_{cde}\left( r_b ~\partial_d ~F_e - \delta_{bd} F_e - r_d ~\partial_b ~ F_e\right),$ y además tenemos la regla "BAC-CAB" que

ϵ_{a b c} ϵ_{c d e}

$\epsilon_{abc}\epsilon_{cde}$ solo puede ser distinto de cero cuando

a = d

$a = d$ y

b = e

$b = e$ (con coeficiente +1) o cuando

a = e

$a = e$ y

b = d

$b = d$ (con coeficiente -1), por lo que se puede reescribir como

δ_{a d} δ_{b e} - δ_{a e} δ_{b d} .

$\delta_{ad}\delta_{be} - \delta_{ae}\delta_{bd}.$ Entonces esta expresión es

{tu}_{a} = (d_{a d} d_{b mi} - d_{a mi} d_{b d}) (r_{b} \partial_{d} F_{mi} - d_{b d} F_{mi} - r_{d} \partial_{b} F_{mi}),

$U_a = (\delta_{ad}\delta_{be} - \delta_{ae}\delta_{bd}) \left(r_b ~\partial_d ~F_e - \delta_{bd} F_e - r_d ~\partial_b ~ F_e\right),$ de donde el termino

δ_{b d} F_{e}

$\delta_{bd} F_e$ siempre se desvanecerá, a medida que consigamos

δ_{a e} F_{e} - δ_{a e} F_{e} = 0.

$\delta_{ae} F_e - \delta_{ae} F_e = 0.$ Del mismo modo, los otros términos sufren de

δ_{b d}

$\delta_{bd}$ formando

r_{b} \partial_{b} F_{a} - r_{b} \partial_{b} F_{a} = 0.

$r_b \partial_b F_a - r_b \partial_b F_a = 0.$ Así que el único término que queda es el

δ_{a d} δ_{b e}

$\delta_{ad}\delta_{be}$ uno, lo que lleva a

{tu}_{a} = r_{b} \partial_{a} F_{b} - r_{a} \partial_{b} F_{b} .

$U_a = r_b ~\partial_a ~F_b - r_a ~\partial_b ~ F_b.$ El primer término se puede reescribir como

\partial_{a} (r_{b} F_{b}) - F_{a},

$\partial_a(r_b F_b) - F_a,$ por lo que esto se puede escribir como,

\vec{tu} = \nabla (\vec{r} \cdot \vec{F}) - \vec{r} (\nabla \cdot \vec{F}) - \vec{F} .

$\vec U = \nabla(\vec r\cdot \vec F) - \vec r (\nabla \cdot \vec F) - \vec F.$

Esto también se parece un poco a una regla BAC-CAB, pero no puede ser de la forma $A \times (B \times C)$ porque el $\nabla$ probablemente no estaría actuando en $F$ , así que, en su lugar, apuntemos $(A \times B) \times C = B (A \cdot C) - A (B\cdot C)$ con $A = r$ , $B = \nabla$ .

En otras palabras, calculemos

\vec{V} = (\vec{r} \times \nabla) \times F,

$\vec V = (\vec r \times \nabla) \times F,$ que hacemos de la misma manera pero con

V_{a} = ϵ_{a b C} ϵ_{b d mi} r_{d} \partial_{mi} F_{C} .

$V_a = \epsilon_{abc} \epsilon_{bde} r_d \partial_e F_c.$ Lo relevante

ϵ \propto δ δ

$\epsilon \propto \delta\delta$ rendimientos de análisis:

V_{a} = (d_{a mi} d_{C d} - d_{a d} d_{C mi}) r_{d} \partial_{mi} F_{C} = r_{C} \partial_{a} F_{C} - r_{a} \partial_{C} F_{C} = {tu}_{a} .

$V_a = (\delta_{ae} \delta_{cd} - \delta_{ad} \delta_{ce}) r_d \partial_e F_c = r_c \partial_a F_c - r_a \partial_c F_c = U_a.$

En otras palabras,

[(\vec{r} \times), (\nabla \times)] = \frac{i}{ℏ} (\hat{L} \times) .

$\Big[\big(\vec r \times\big),~ \big(\nabla \times\big)\Big] = \frac{i}{\hbar} \big(\hat L \times\big).$

¿Cómo funciona r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) se relacionan con el operador de momento angular orbital?

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