¿Se considera que la matriz de rotación de espín 1/2 es en sentido contrario a las agujas del reloj?

Para su ejemplo, tenemos$e^{i\theta S_z}\mathbf{S}e^{-i\theta S_z}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta&0\\\sin\theta & \cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\mathbf{S}$, con$e^{i\theta S_z}=\begin{pmatrix}e^{i\frac{\theta }{2}} & 0\\ 0 & e^{-i\frac{\theta }{2}}\end{pmatrix}$y$\mathbf{S}=\begin{pmatrix}S_x\\ S_y\\ S_z\end{pmatrix}$representando a los operadores spin-1/2.

Comentarios:

De hecho, para la rotación de espín más general, tenemos

$$U\mathbf{S}U^\dagger=A\mathbf{S}\rightarrow (1)$$ , dónde $U$representa el operador de rotación de espín general $U=e^{i\alpha S_z}e^{i\beta S_y}e^{i\gamma S_z}=\begin{pmatrix}\cos{\frac{\beta }{2}}e^{i\frac{\alpha + \gamma}{2}} & \sin{\frac{\beta }{2}}e^{i\frac{\alpha - \gamma}{2}}\\ -\sin{\frac{\beta }{2}}e^{i\frac{\gamma-\alpha}{2}} & \cos{\frac{\beta }{2}}e^{-i\frac{\alpha + \gamma}{2}}\end{pmatrix}\in SU(2)$, y $A=\begin{pmatrix}\cos\alpha \cos\beta\cos\gamma-\sin\alpha\sin\gamma& -\sin\alpha \cos\beta\cos\gamma-\cos\alpha\sin\gamma &\sin\beta\cos\gamma\\ \cos\alpha \cos\beta\sin\gamma+\sin\alpha\cos\gamma & -\sin\alpha \cos\beta\sin\gamma+\cos\alpha\cos\gamma&\sin\beta\sin\gamma\\-\cos\alpha\sin\beta&\sin\alpha\sin\beta&\cos\beta\end{pmatrix}$ $\in SO(3)$con los tres ángulos de Euler $\alpha,\beta,\gamma$.

Eq.(1) da el mapa de$SU(2)$a$SO(3)$y la relacion$SO(3)\cong SU(2)/Z_2.$

Observaciones:

$e^{i\theta S_x}=\begin{pmatrix}\cos{\frac{\theta }{2}} & i\sin{\frac{\theta }{2}}\\ i\sin{\frac{\theta }{2}} & \cos{\frac{\theta }{2}} \end{pmatrix},e^{i\theta S_y}=\begin{pmatrix}\cos{\frac{\theta }{2}} & \sin{\frac{\theta }{2}}\\ -\sin{\frac{\theta }{2}} & \cos{\frac{\theta }{2}}\end{pmatrix},e^{i\theta S_z}=\begin{pmatrix}e^{i\frac{\theta }{2}} & 0\\ 0 & e^{-i\frac{\theta }{2}}\end{pmatrix}.$

Los tres generadores de rotaciones del espinor a la derecha están dados por$\left\{- i\sigma_x,-i\sigma_y,-i\sigma_z\right\}$, véase, por ejemplo, Peskin & Schroeder, página 44, y la matriz de rotación para una rotación del espinor sobre un ángulo$\phi$alrededor de un vector unitario$\hat{s}$es dado por:

$R~=~ \exp\left(-i\frac{\phi}{2}~\hat{s}\cdot\vec{\sigma}\right) ~=~ I\cos\frac{\phi}{2}+\left(-i\,\hat{s}\cdot\vec{\sigma}\right)\sin\frac{\phi}{2}$

Dónde$\vec{\sigma}=\{\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z\}$y$I$es la matriz unitaria que es igual a$\sigma_o$. Podemos escribir explícitamente los generadores de rotación (hacia la derecha) de la siguiente manera a partir de la definición de las matrices de Pauli.

:

$$\begin{align} \sigma_x = \begin{pmatrix} ~~0&~~1\\ ~~1&~~0~~ \end{pmatrix} && \sigma_y = \begin{pmatrix} ~~0&-i\\ ~~i&~~0~~ \end{pmatrix} && \sigma_z = \begin{pmatrix} ~~1&~~0\\ ~~0&-1~~ \end{pmatrix} \, \end{align}$$

:

$$\begin{align} j_x = \begin{pmatrix} ~~0&-i\\ -i&~~0~~ \end{pmatrix} && j_y = \begin{pmatrix} ~~0&-1\\ ~~1&~~0~~ \end{pmatrix} && j_z = \begin{pmatrix} -i&~~0\\ ~~0&~~i~~ \end{pmatrix} \, \end{align}$$

La matriz de rotación específica dada en la pregunta anterior es una rotación hacia la izquierda ya que la matriz de rotación hacia la derecha está definida por:

$R~=~ \exp\left(\frac{\phi}{2} j_z\right) ~=~ I\cos\frac{\phi}{2}\phi~+~j_z\sin\frac{\phi}{2} ~=~ \begin{pmatrix} \exp-i\frac{\phi}{2}&0\\ ~~0&\exp i\frac{\phi}{2}~~ \end{pmatrix}$

El sentido contrario a las agujas del reloj es diestro si el eje de rotación apunta hacia usted, pero es zurdo si el eje de rotación apunta en dirección opuesta a usted. Depende de tu elección...