Signo erróneo en momento angular (Mecánica Cuántica)

Su expresión es matemáticamente correcta, pero creo que el problema es que el "$\vec r$"usted está usando en el$2$tipo de ecuaciones no es lo mismo, por lo que no se puede comparar.

El "$\vec r$"lo usas con$\vec n \wedge \vec r$, representa claramente las coordenadas, y las coordenadas cambian bajo una rotación infinitesimal.

En el segundo tipo de ecuaciones, está utilizando operadores diferenciales, aplicando funciones "físicas" de$\vec r$. Por ejemplo, podemos tomar el ejemplo de la temperatura$T(\vec r)$. Esta es una cantidad física que depende del punto del espacio físico. El cambio de coordenadas$\vec r \to \vec {r'}$no cambia el espacio-punto físico y su temperatura, corresponde solo a un cambio de sistema de coordenadas, por lo que la nueva temperatura$T'(\vec {r'})$debe verificar$T'(\vec {r'}) = T(\vec r)$y la variación de la temperatura, en función de las coordenadas iniciales$\vec r$, va como la inversa de la variación de las coordenadas :

$\vec r \to \vec r' = \vec r + \delta \vec r, \quad \quad T(\vec r) \to T'(\vec r)=T(\vec r - \delta \vec r), \quad \quad T'(\vec {r'}) = T(\vec r)$

Ahora, puede considerar$\vec r_f$, como una función física de$\vec r$, con$\vec r_f(\vec r) = \vec r$, en el sistema de coordenadas inicial , por lo que tenemos la siguiente variación para la función$\vec r_f$:

$\vec r = \vec r_f(\vec r) \to \vec r'_f(\vec r) =\vec r_f(\vec r - \delta \vec r) = \vec r - \delta \vec r\quad \quad \vec {r'}_f(\vec {r'}) = r_f(\vec r)$

Entonces, considerando$\vec r$como coordenadas, o$\vec r$como una función, da$2$diferente tipo de variaciones. Como coordenadas tienes$\vec r \to \vec r + \delta \vec r$, y como función física, tienes$\vec r \to \vec r - \delta \vec r$