Recuperando la simetría en osciladores acoplados

Question

Recuperando la simetría en osciladores acoplados

Física
simetría
modos normales
álgebra lineal
osciladores acoplados

DanielSank

Considere un par de osciladores LC, uno con capacitancia $C_1$ e inductancia $L_1$ y el otro con capacitancia $C_2$ e inductancia $L_2$ . Supongamos que están conectados a través de un condensador. $C_g$ . Queremos encontrar los modos y frecuencias normales.

Si escribimos las leyes de Kirchhoff, encontramos

\begin{aligned} V_{1} + {\ddot{V}}_{1} (1 + ϵ_{1}) / ω_{1}^{2} - (ϵ_{1} / ω_{1}^{2}) {\ddot{V}}_{2} & = 0 \\ V_{2} + {\ddot{V}}_{2} (1 + ϵ_{2}) / ω_{2}^{2} - (ϵ_{2} / ω_{2}^{2}) {\ddot{V}}_{1} & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} V_1 + \ddot{V}_1 \left(1 + \epsilon_1 \right)/\omega_1^2 - (\epsilon_1/\omega_1^2)\ddot{V}_2 &= 0 \\ V_2 + \ddot{V}_2 \left(1 + \epsilon_2 \right)/\omega_2^2 - (\epsilon_2/\omega_2^2)\ddot{V}_1 &= 0 \\ \end{align}$ dónde

ϵ_{i} \equiv C_{g} / C_{i}

$\epsilon_i \equiv C_g / C_i$ y

ω_{i}^{2} \equiv 1 / L_{i} C_{i}

$\omega_i^2 \equiv 1/L_i C_i$ . Estas ecuaciones se pueden escribir en forma matricial como

\begin{matrix} (⋆) & (\begin{matrix} V_{1} \\ V_{2} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} (1 + ϵ_{1}) / ω_{1}^{2} & - ϵ_{1} / ω_{1}^{2} \\ - ϵ_{2} / ω_{2}^{2} & (1 + ϵ_{2}) / ω_{2}^{2} \end{array}) (\begin{matrix} {\ddot{V}}_{1} \\ {\ddot{V}}_{2} \end{matrix}) . \end{matrix}

$\left( \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} (1 + \epsilon_1)/\omega_1^2 & - \epsilon_1 / \omega_1^2 \\ - \epsilon_2 / \omega_2^2 & (1 + \epsilon_2)/\omega_2^2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \ddot{V}_1 \\ \ddot{V}_2 \end{array} \right) \tag{$\star$} \, .$ Ahora si

L_{1} = L_{2}

$L_1 = L_2$ y

C_{1} = C_{2}

$C_1 = C_2$ entonces

ϵ_{1} = ϵ_{2} \equiv ϵ

$\epsilon_1 = \epsilon_2 \equiv \epsilon$ y

ω_{1} = ω_{2} \equiv ω_{0}

$\omega_1 = \omega_2 \equiv \omega_0$ y la ecuación matricial se convierte en

(\begin{matrix} V_{1} \\ V_{2} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} (1 + ϵ) / ω_{0}^{2} & - ϵ / ω_{0}^{2} \\ - ϵ / ω_{0}^{2} & (1 + ϵ) / ω_{0}^{2} \end{array}) (\begin{matrix} {\ddot{V}}_{1} \\ {\ddot{V}}_{2} \end{matrix}) .

$\left( \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} (1 + \epsilon)/\omega_0^2 & - \epsilon / \omega_0^2 \\ - \epsilon / \omega_0^2 & (1 + \epsilon)/\omega_0^2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \ddot{V}_1 \\ \ddot{V}_2 \end{array} \right) \, .$ En este caso particular, la matriz se puede escribir en la forma agradable

\begin{matrix} (⋆ ⋆) & \frac{1 + ϵ}{ω_{0}^{2}} I - \frac{ϵ}{ω_{0}^{2}} σ_{X} \end{matrix}

$\frac{1 + \epsilon}{\omega_0^2} \, \mathbb{I} - \frac{\epsilon}{\omega_0^2} \sigma_x \tag{$\star \star$}$ y es bastante fácil encontrar los modos normales y las frecuencias normales.

^{[a]}

$^{[a]}$

Sin embargo, cuando los osciladores no son idénticos, por ejemplo, Eq. ( $\star$ ), las expresiones para los modos y frecuencias normales son bastante complicadas. ¿Hay alguna transformación que podamos aplicar a ( $\star$ ) para llevarlo a una forma simple como ( $\star \star$ ) para que el análisis modal resulte en ecuaciones más simples?

Quizás otra forma de preguntar esto sería pedir una forma sistemática de reescalar las variables para que la matriz en las ecuaciones de movimiento sea simétrica o quizás hermitiana.

[a] Las frecuencias son $\omega_0$ (modo par) y $\omega_0 / \sqrt{1 + 2 \epsilon}$ (modo impar).

Observador inercial

¿Has probado a trabajar en una base donde la matriz es diagonal?

DanielSank

@InertialObserver Encontrar esa base de manera sistemática es exactamente el punto de esta pregunta.

Observador inercial

No entiendo... esto no es un problema de osciladores acoplados entonces... ¿sabes sobre la diagonalización de matrices?

DanielSank

@InertialObserver Sí, sé sobre la diagonalización de la matriz, y sí, esta es una pregunta sobre osciladores acoplados. La ecuacion (

⋆

$\star$ ) son las ecuaciones de dos osciladores armónicos eléctricos acoplados. La cuestión es cómo diagonalizar la matriz (es decir, desacoplar las ecuaciones de movimiento) de forma sistemática cuando los osciladores no son idénticos.

knzhou

Supongo que podrías escribir la matriz en general como

a_{0} I + \vec{a} \cdot \vec{σ}

$a_0 I + \vec{a} \cdot \vec{\sigma}$ y luego aplicar una rotación (conjugando con

e^{- i θ \hat{n} \cdot \vec{σ}}

$e^{- i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}}$ ) alinear

\vec{a}

$\vec{a}$ con

\hat{x}

$\hat{x}$ . Sin embargo, hacer esto explícitamente puede ser más complicado que hacerlo de la manera normal.

Frobenius

Relacionado: Lagrangiano para dos ecuaciones diferenciales lineales acopladas de segundo orden .

Respuestas (3)

Recuperando la simetría en osciladores acoplados

¿Has probado a trabajar en una base donde la matriz es diagonal?
@InertialObserver Encontrar esa base de manera sistemática es exactamente el punto de esta pregunta.
No entiendo... esto no es un problema de osciladores acoplados entonces... ¿sabes sobre la diagonalización de matrices?
@InertialObserver Sí, sé sobre la diagonalización de la matriz, y sí, esta es una pregunta sobre osciladores acoplados. La ecuacion ( $\star$ ) son las ecuaciones de dos osciladores armónicos eléctricos acoplados. La cuestión es cómo diagonalizar la matriz (es decir, desacoplar las ecuaciones de movimiento) de forma sistemática cuando los osciladores no son idénticos.
Supongo que podrías escribir la matriz en general como $a_0 I + \vec{a} \cdot \vec{\sigma}$ y luego aplicar una rotación (conjugando con $e^{- i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}}$ ) alinear $\vec{a}$ con $\hat{x}$ . Sin embargo, hacer esto explícitamente puede ser más complicado que hacerlo de la manera normal.
Relacionado: Lagrangiano para dos ecuaciones diferenciales lineales acopladas de segundo orden .

ZeroTheHero · Answer 1

Qué tal esto:

Voy a escribir su matriz general en la forma

\begin{aligned} METRO = (\begin{array}{cc} a & b \\ C & d \end{array}) \end{aligned}

$\begin{align} M=\left(\begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array}\right) \end{align}$ para que su sistema sea

V = METRO \ddot{V}

$V=M \ddot{V}$

Considerar

\begin{aligned} tu = (\begin{array}{cc} {mi}^{α} & 0 \\ 0 & {mi}^{- α} \end{array}) \end{aligned}

$\begin{align} U=\left(\begin{array}{cc} e^{\alpha}&0\\ 0&e^{-\alpha} \end{array}\right) \end{align}$ con

α

$\alpha$ estar determinado. La elección de este está íntimamente relacionada con una rotación

e^{- i α {\hat{L}}_{z}}

$e^{-i\alpha \hat L_z}$ eso funcionaría si tuvieras una matriz hermítica y quisieras rotar el

σ_{y}

$\sigma_y$ componente de distancia.

Al conjugar:

\begin{aligned} tu METRO {tu}^{- 1} = (\begin{array}{cc} a & b {mi}^{2 α} \\ C {mi}^{- 2 α} & d \end{array}) \end{aligned}

$\begin{align} UMU^{-1}= \left(\begin{array}{cc} a&be^{2\alpha}\\ ce^{-2\alpha}&d \end{array}\right) \end{align}$ y elige

α

$\alpha$ de modo que

b {mi}^{2 α} = C {mi}^{- 2 α} = b^{'}

$be^{2\alpha}=ce^{-2\alpha}=b’$ para traer su original

M

$M$ a la forma

\begin{aligned} tu METRO {tu}^{- 1} = (\begin{array}{cc} a & b^{'} \\ b^{'} & d \end{array}) \end{aligned}

$\begin{align} UMU^{-1}= \left(\begin{array}{cc} a&b’\\ b’&d \end{array}\right) \end{align}$ que es de la forma

\begin{aligned} \frac{1}{2} (a + d) I + \frac{1}{2} (a - d) σ_{z} + b^{'} σ_{X} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{2}(a+d)\mathbb{I}+\frac{1}{2}(a-d)\sigma_z+b’\sigma_x \end{align}$ Una rotación unitaria adicional sobre

y

$y$ , generado por

e^{- i β σ_{y}}

$e^{-i\beta\sigma_y}$ puede deshacerse de cualquiera de los

σ_{x}

$\sigma_x$ o el

σ_{z}

$\sigma_z$ término.

Tenga en cuenta que mi $U$ no es una transformación unitaria: tu $M$ tampoco es hermético, así que algo tiene que ceder. $U$ es un cambio de escala de los vectores base originales, estirando uno y comprimiendo el otro. El vector base transformado permanece ortogonal pero ya no tiene longitud 1. El vector transformado $M$ es hermitiano, como se pide.

Este tipo de “diagonalización” del operador no hermitiano usando una transformación no unitaria se explora en

Rashid MA. Los estados inteligentes. I. Estudio de teoría de grupos y cálculo de elementos matriciales. Revista de Física Matemática. 1978 junio; 19 (6): 1391-6.

Los estados inteligentes son estados que saturan las relaciones de incertidumbre; son estados propios de un operador no hermitiano.

Observador inercial · Answer 2

Deseamos encontrar una base en la que

(\begin{matrix} V_{1} \\ V_{2} \end{matrix}) = \underset{:= METRO}{\underset{⏟}{(\begin{array}{cc} (1 + ϵ_{1}) / ω_{1}^{2} & - ϵ_{1} / ω_{1}^{2} \\ - ϵ_{2} / ω_{2}^{2} & (1 + ϵ_{2}) / ω_{2}^{2} \end{array})}} (\begin{matrix} {\ddot{V}}_{1} \\ {\ddot{V}}_{2} \end{matrix})

$\left( \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \end{array} \right) = \underbrace{\left( \begin{array}{cc} (1 + \epsilon_1)/\omega_1^2 & - \epsilon_1 / \omega_1^2 \\ - \epsilon_2 / \omega_2^2 & (1 + \epsilon_2)/\omega_2^2 \\ \end{array} \right)}_{:= M} \left( \begin{array}{c} \ddot{V}_1 \\ \ddot{V}_2 \end{array} \right) \,$

es diagonal. Esto se puede hacer sólo si los valores propios de $M$ son distintos.

Esquema : Queremos diagonalizar $M$ , pero primero tenemos que averiguar si esto es posible. es posible si $M$ tiene valores propios distintos. Usando los hechos que

t r (METRO) = λ_{1} + λ_{2} = \frac{1 + ϵ_{1}}{ω_{1}^{2}} + \frac{1 + ϵ_{2}}{ω_{2}^{2}}

$tr(M) = \lambda_1 + \lambda_2 = \frac{1+\epsilon_1}{\omega_1^2}+ \frac{1+\epsilon_2}{\omega_2^2}$

det (METRO) = λ_{1} λ_{2} = \frac{(1 + ϵ_{1}) (1 + ϵ_{2})}{ω_{1}^{2} ω_{2}^{2}} + \frac{ϵ_{1} ϵ_{2}}{ω_{1}^{2} ω_{2}^{2}}

$\det(M) = \lambda_1\lambda_2 = \frac{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}{\omega_1^2\omega_2^2}{} + \frac{\epsilon_1\epsilon_2}{\omega_1^2\omega_2^2}$

que nos da los valores propios

{λ_{1}, λ_{2}} = {\frac{- \sqrt{(- ϵ_{2} ω_{1} - ϵ_{1} ω_{2} - ω_{2} - ω_{1})^{2} - 4 (ϵ_{2} ω_{2} ω_{1} + ϵ_{1} ω_{2} ω_{1} + ω_{2} ω_{1})} + ϵ_{2} ω_{1} + ϵ_{1} ω_{2} + ω_{2} + ω_{1}}{2 ω_{2} ω_{1}}, \frac{\sqrt{(- ϵ_{2} ω_{1} - ϵ_{1} ω_{2} - ω_{2} - ω_{1})^{2} - 4 (ϵ_{2} ω_{2} ω_{1} + ϵ_{1} ω_{2} ω_{1} + ω_{2} ω_{1})} + ϵ_{2} ω_{1} + ϵ_{1} ω_{2} + ω_{2} + ω_{1}}{2 ω_{2} ω_{1}}}

$\{\lambda_1, \lambda_2\}= \\ \left\{\frac{-\sqrt{(-\epsilon_2 \omega_1 -\epsilon_1 \omega_2-\omega_2-\omega_1 )^2-4 (\epsilon_2 \omega_2 \omega_1 +\epsilon_1 \omega_2 \omega_1 +\omega_2 \omega_1 )}+\epsilon_2 \omega_1 +\epsilon_1 \omega_2+\omega_2+\omega_1 }{2 \omega_2 \omega_1 },\\ \frac{\sqrt{(-\epsilon_2 \omega_1 -\epsilon_1 \omega_2-\omega_2-\omega_1 )^2-4 (\epsilon_2 \omega_2 \omega_1 +\epsilon_1 \omega_2 \omega_1 +\omega_2 \omega_1 )}+\epsilon_2 \omega_1 +\epsilon_1 \omega_2+\omega_2+\omega_1 }{2 \omega_2 \omega_1 }\right\}$

que son en general distintos. Entonces, el punto es que podemos encontrar una matriz de transformación adecuada $S$ tal que $M$ es diagonal (Las columnas de $S$ son los vectores propios de $M$ ).

Ahora etiqueta los estados en la nueva base con números primos. Luego vamos a la nueva base.

S (\begin{matrix} V_{1} \\ V_{2} \end{matrix}) = S (\begin{array}{cc} (1 + ϵ_{1}) / ω_{1}^{2} & - ϵ_{1} / ω_{1}^{2} \\ - ϵ_{2} / ω_{2}^{2} & (1 + ϵ_{2}) / ω_{2}^{2} \end{array}) S^{- 1} S (\begin{matrix} {\ddot{V}}_{1} \\ {\ddot{V}}_{2} \end{matrix})

$S \left( \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \end{array} \right) = S\left( \begin{array}{cc} (1 + \epsilon_1)/\omega_1^2 & - \epsilon_1 / \omega_1^2 \\ - \epsilon_2 / \omega_2^2 & (1 + \epsilon_2)/\omega_2^2 \\ \end{array} \right)S^{-1}S \left( \begin{array}{c} \ddot{V}_1 \\ \ddot{V}_2 \end{array} \right) \,$

se convierte

(\begin{matrix} V_{1}^{'} \\ V_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} {\ddot{V^{'}}}_{1} \\ {\ddot{V^{'}}}_{2} \end{matrix})

$\left( \begin{array}{c} V'_1 \\ V'_2 \end{array} \right) = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \left( \begin{array}{c} \ddot{V'}_1 \\ \ddot{V'}_2 \end{array} \right)$

y así nuestras ecuaciones están desacopladas en esta base.

Esto no responde la pregunta. La pregunta es si hay una forma sistemática de manejar la complejidad adicional que surge cuando los osciladores no son idénticos. Esta respuesta establece los valores propios pero no intenta simplificarlos, por ejemplo, definiendo cantidades útiles compartidas entre las dos expresiones. Esta respuesta tampoco explica cómo resolver formalmente la simetría que falta.

elio fabri · Answer 3

¿Hay alguna transformación que podamos aplicar a $(*)$ para llevarlo a una forma simple como $(**)$ de modo que el análisis modal resulte en ecuaciones más simples?

En realidad lo hay, pero no es un simple reescalado. Quizás la forma más fácil de ver qué hacer es proceder en dos pasos. Primero, una sustitución $V_2=k\,V_2'$ deja los elementos diagonales inalterados pero hace que los términos fuera de la diagonal sean iguales entre sí para algunos $k$ .

Ahora la matriz es una combinación lineal de $\Bbb I$ , $\sigma_1$ , $\sigma_3$ y no debería ser difícil encontrar valores propios y vectores propios,

Espero que esto también responda a tu pregunta.

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