Simetrías de modos cuasinormales del agujero negro de Kerr

He estado leyendo este artículo siguiente sobre la evolución numérica de la ecuación de Teukolsky (ver, por ejemplo, Eq 1 en su artículo) para campos de espín -2 sobre una solución de agujero negro giratorio (Kerr).

Como la ecuación de Teukolsky es axialmente simétrica, los autores pueden factorizar$\phi$dependencia escribiendo la solución en la forma

$$\begin{equation} \Psi_4(t,r,\theta,\phi)=\psi_m(t,r,\theta) e^{im\phi} \end{equation}$$

y resolver la ecuación de Teukolsky reducida para cada número angular$m$.

Los autores en la Sección IVB de su artículo extraen el anillo cuasinormal de sus simulaciones numéricas, que se obtienen nuevamente resolviendo para un particular$\psi_m$. Estoy confundido acerca de los siguientes dos párrafos en su artículo sobre la señal de llamada que extraen en su código (QNM==modos cuasinormales)

Curiosamente, encontramos que las frecuencias QNM extraídas numéricamente para m distinto de cero no dependen del signo de m, es decir, obtenemos los mismos valores para las frecuencias QNM de las evoluciones para egm=±1. A primera vista esto es sorprendente, ya que parece contradecir resultados bien establecidos. Según, por ejemplo, Detweiler [8] , las partes imaginarias de los modos m= +1 y m=−1 deberían volverse bastante diferentes a medida que aumenta.

Afortunadamente, la respuesta es simple: las frecuencias de m y −m QNM están presentes en una evolución típica.

Luego continúan diciendo que para la ecuación de Teukolsky, las funciones propias de QNM tienen la siguiente simetría (que se verifica fácilmente al observar la forma de la ecuación de Teukolsky; aquí el primer argumento es la frecuencia casi normal)

$$\begin{equation} \Psi_{l,m}(\omega,r,\theta)=\left[\Psi_{l,-m}(-\omega^*,r,\theta)\right]^* \end{equation}$$

En particular entonces, un modo con números angulares$(l,m)$es igual al conjugado complejo negativo de un modo con números angulares$(l,-m)$.

Sin embargo, no entiendo por qué el código que escriben estos autores parece excitar principalmente esos modos, y por qué, por ejemplo, su código, con$m=-|m|$, no excita apreciablemente los otros modos cuasinormales con$m=-|m|$.

EDITAR:

Lo que pregunto es si existe una prescripción para computar datos iniciales para$\psi_m$para cual$\psi_m$se admite de forma compacta en la superficie de datos inicial, y que preferentemente excita ciertos modos cuasinormales en oposición a otros. Supongo que podría convolucionar una solución de modo casi normal exacta a la ecuación de Teukolsky con una función de choque en la superficie de datos inicial, pero me pregunto si hay un conjunto de datos iniciales más elegante que se pueda usar.