Su pregunta parece contener dos partes. Primero, está preguntando cómo configurar las ecuaciones de movimiento para este sistema acoplado. En segundo lugar, está preguntando cómo usar las consideraciones de simetría para encontrar los modos y frecuencias normales. Primero respondamos un poco sobre la simetría primero.

Modos normales - simetría

Su observación sobre la simetría de reflexión es acertada. En general, los modos normales del sistema acoplado son combinaciones lineales de los modos del sistema desacoplado. Como usted señaló, el sistema tiene una simetría de reflexión. Esto significa que los modos del sistema acoplado también tienen simetría de reflexión, aunque los modos pueden ser pares o impares bajo esa simetría. El modo con simetría de reflexión uniforme es aquel en el que la corriente de un circuito fluye en el sentido de las agujas del reloj, la corriente del otro circuito fluye en el sentido contrario a las agujas del reloj. Puede ver que este modo tiene una simetría de reflexión uniforme al imaginar que levanta el diagrama y lo voltea de izquierda a derecha, como se muestra en la figura adjunta.

A partir de estas consideraciones, debería poder averiguar cómo se ve el modo impar. ¿Sabes cómo obtener las frecuencias desde aquí?

Ecuaciones de movimiento

Aquí mostramos cómo escribir ecuaciones de movimiento cuando se trata de inductancia mutua. Deje que el circuito de la izquierda se llame #1 y que el circuito de la derecha se llame #2. Denote la inductancia y la capacitancia del circuito #1 como$L_1$y$C_1$, y de manera similar para el circuito #2.

Denotamos por$V_1$y$I_1$el voltaje a través y la corriente a través$L_1$, y de manera similar para$V_2$y$I_2$.

Una inductancia mutua significa que los dos inductores comparten flujo. En particular, el flujo de$L_1$debido a la corriente$I_2$es

$$\Phi_{1,2} = M I_2$$ .

Esta es solo la definición de inductancia mutua. Este flujo se suma al flujo propio.$\Phi_{1,1}$del circuito #1. Por lo tanto, tenemos

$$\Phi_1 = \Phi_{1,1} + \Phi_{1,2} = L_1 I_1 + M I_2$$

Diferenciar ambos lados para obtener

$$\dot{\Phi}_1 = - L_1 \ddot{Q}_1 - M \ddot{Q}_2$$

donde aquí usamos$I_1 = -Q_1$lo cual es correcto porque la corriente que fluye hacia abajo a través de cada inductor se aleja del capacitor correspondiente. Aprendió que la tasa de cambio en el tiempo en el flujo de un inductor da el voltaje a través de él:$\dot{\Phi} = V$. Usando este hecho nos da

$$V_1 = -L_1 \ddot{Q}_1 - M \ddot{Q}_2 .$$

El voltaje en el inductor y el capacitor es el mismo porque están conectados en paralelo. Por lo tanto,$V_1 = Q_1 / C_1$por la definición de capacitancia, resultando en

$$\begin{align} \omega_1^2 Q_1 &= - \ddot{Q}_1 - (M/L_1) \ddot{Q}_2 \\ \text{and by symmetry} \qquad \omega_2^2 Q_2 &= - \ddot{Q}_2 - (M/L_2) \ddot{Q}_1 \end{align}$$

dónde$\omega_i \equiv 1/\sqrt{L_i C_i}$. ¿Son razonables estas ecuaciones? Si$M=0$entonces nosotros tenemos

$$\omega_1^2 Q_1 = -\ddot{Q}_1 \qquad \text{and} \qquad \omega_2^2 Q_2 = - \ddot{Q}_2$$

que es precisamente lo que esperas de los osciladores desacoplados. Por lo tanto, nuestras ecuaciones de movimiento probablemente sean correctas.