Relación entre modos cero y simetría en un sistema simple de resortes acoplados

Esta página de Wikipedia establece que "los modos cero aparecen siempre que un sistema físico posee una cierta simetría", y da el ejemplo de un anillo de cuentas conectadas por resortes que tienen un modo cero asociado con la rotación rígida de todo el sistema. También es fácil pensar en otros ejemplos: la mayoría de los sistemas de cuentas conectadas por resortes tienen modos cero que surgen de la traslación de todo el sistema (es decir, simetría traslacional), por ejemplo.

Considere un sistema de cuatro cuentas, conectadas por resortes en un cuadrado en equilibrio. Este sistema tiene 8 grados de libertad, por lo que tiene 8 modos. Los cuatro modos distintos de cero provienen tanto de los resortes verticales como de los horizontales que oscilan sincronizados o desincronizados 180 grados. Dos de los modos cero provienen de la traslación de todo el sistema y la simetría correspondiente es obvia. Uno de los modos cero proviene de la rotación de todo el sistema y, nuevamente, la simetría correspondiente es obvia.

Sin embargo, el modo cero final proviene de unir dos de las esquinas opuestas mientras se separan las otras dos esquinas opuestas (es decir, aplastar el cuadrado en un rombo). Entonces mi pregunta es esta: ¿a qué simetría del sistema corresponde esta deformación?

¿A qué te refieres con "modo cero"? ¿Te refieres a un modo con frecuencia natural cero? es decir, movimiento de cuerpo rígido?
Me refiero a un modo normal del sistema con valor propio que se desvanece.
Entonces, ¿es lo mismo que un modo normal con frecuencia cero, o no?
Los valores propios de Hessian == las frecuencias normales, así que sí, es lo mismo.
Aunque esta pregunta está fuera de tema, eche un vistazo a otra relacionada fuera de tema aquí: ¿Cómo calcular el número de modos y modos de oscilación de un grupo de 7 masas idénticas en un anillo conectado a través de resortes? .

Respuestas (2)

La respuesta de Evan Rule me confunde porque solo pienso en la reflexión como una simetría discreta. Necesitamos una simetría continua para invocar el argumento de Noether/Nambu-Goldstone. Intentaré hacerlo un poco mejor. En primer lugar, la simetría adicional es exactamente la transformación que crea el modo. Segundo, la simetría debería actuar sobre cada configuración, produciendo una nueva configuración que tenga la misma energía.

Describiré la transformación infinitesimal, cuyo parámetro es un ángulo infinitesimal d θ . Ordenemos los vértices del cuadrilátero 0,1,2,3 (que no se supone que estén en posición de equilibrio). Consideramos el ángulo 0,1,2 θ . Hay (casi, ver abajo) siempre una única transformación que toma θ ↦ θ + d θ y conserva todas las longitudes, por lo tanto conserva la energía pero nos da una nueva configuración no relacionada con la anterior por movimientos rígidos porque el ángulo 0,1,2 ahora es diferente.

La existencia y singularidad de esta transformación tiene que ver con un interesante hecho geométrico de que un genérico norte -gon con longitudes de borde fijas pero ángulos de giro libre tiene exactamente norte − 3 grados de libertad, además de movimientos rígidos. Solo los triángulos son estructuralmente rígidos, y es por eso que los usamos para construir cosas.

Por cierto, el estudio general de estos "juguetes de juguete" es bastante interesante, y W. Thurston dio una famosa conferencia en la que demostró que cada variedad diferenciable aparece como un componente del espacio de módulos de tales cosas. Échale un vistazo.

En realidad, el espacio de módulos del rombo ya es bastante sorprendente. Ver desde la página 5 aquí . Uno podría pensar que a medida que continuamos cambiando el ángulo 0,1,2 obtenemos un círculo completo de espacio de configuración. Esto es cierto, pero hay ciertos puntos especiales donde los nuevosAparecen los grados de libertad. Por ejemplo, después de aplanar un rombo para que el ángulo 0,1,2 sea cero, hay un nuevo movimiento de conservación de la longitud que cambia el ángulo 1,2,3 mientras mantiene cero el ángulo 0,1,2. El espacio de configuración total es un collar de tres círculos que se besan por un grupo de movimientos rígidos. Un círculo es la rama de área positiva del espacio de módulos de equilibrio y dos círculos son ramas cero. En estas dos extrañas ramas, una rotación en el ángulo 1,2,3 o 2,3,0 genera el modo cero extra. El número total de modos cero es siempre el mismo excepto en los tres puntos singulares en el espacio de módulos de equilibrio, pero aquí no se pueden tomar combinaciones lineales de los nuevos modos cero. Entonces, en cierto modo, la dimensión total de los modos cero sigue siendo la misma, aunque su número no.

El modo final corresponde a la simetría de reflexión del sistema. Usando la deformación continua que usted describe, puede pellizcar dos de las esquinas por completo e invertirlas, lo que equivale a un reflejo y no es equivalente a ninguna rotación continua del sistema.

Si esto es cierto, ¿cómo es que un sistema de resorte de triángulo equilátero no tiene un modo cero correspondiente a su propia simetría reflexiva?
Para reflejar continuamente el triángulo, tendrías que estirar al menos uno de sus resortes y ya no es un modo cero. El cuadrado puede hacer esta inversión sin estirarse.
¿Está afirmando, entonces, que la afirmación de Wiki de que "los modos cero aparecen cada vez que un sistema físico posee cierta simetría" es incorrecta?
Además, considere que si el sistema fuera un rectángulo (es decir, aumentó la longitud de equilibrio de 2 de los resortes), aún tendría ese modo cero, mientras pierde su simetría de reflexión (a menos que no entienda bien cómo está definiendo la simetría de reflexión ).
La simetría debe ser continua y debe dejar invariante el lagrangiano. La existencia de modos cero resultantes de la simetría es una consecuencia del Teorema de Noether, que se cumple solo para simetrías continuas. Aunque el triángulo tiene una simetría de reflexión discreta, esta no puede promoverse a una simetría continua de una manera que conserve el Lagrangiano. El rectángulo tiene este modo y tiene simetría de reflexión continua; es decir, existe una simetría continua del rectángulo que deja invariante al lagrangiano e invierte la orientación del rectángulo.
Sin embargo, esto no funciona para los trapezoides. no puedes cambiar los vértices a través de su modo cero.
Relación entre modos cero y simetría en un sistema simple de resortes acoplados
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