§
A. Un caso especial: simétrico Ω− 1
Deja el2 × 2
matrices simétricas reales
C− 1=⎡⎣⎢ξ1ξξabξ2ab⎤⎦⎥yL− 1=⎡⎣⎢η1ηηabη2ab⎤⎦⎥(A-01)
Entonces
Ω− 1=C− 1L− 1=⎡⎣⎢ξ1η1+ ξη12ξη1+ξ2ηξ1η+ ξη2ab12ξη+ξ2η2ab⎤⎦⎥(A-02)
Con respecto a las coordenadas
V =⎡⎣⎢V1abV2ab⎤⎦⎥(A-03)
las dos ecuaciones acopladas son
ddt _(V˙) − (C− 1J +Ω− 1K -Ω− 1V ) =0(A-04)
Ahora, si existe un Lagrangiano
L ( V ,V˙, t )
para el problema, entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange son
ddt _(∂L∂V˙) -∂L∂V= 0(A-05)
dónde
∂L∂V=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢∂L∂V1aab∂L∂V2ab⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥y∂L∂V˙=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢∂L∂V˙1aab∂L∂V˙2ab⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥(A-06)
Comparando ecuaciones
(A-04)
y
(A-05)
observamos que el lagrangiano
L ( V ,V˙, t )
debe satisfacer, excepto constantes, las siguientes dos ecuaciones
∂L∂V˙∂L∂V=V˙aab=C− 1J +Ω− 1K -Ω− 1V(A-07a)(A-07b)
De la ecuación
(A-07a)
y en parte debido a los dos primeros términos en la derecha de la ecuación
(A-07b)
notamos que una parte
L1( V ,V˙, t )
del lagrangiano sería
L1( V ,V˙, t ) =12(V˙⋅V˙) + [ (C− 1J ) ⋅ V ]+[ (Ω− 1K ) ⋅ V ](A-08)
mientras que una segunda parte
L2( V ,V˙, t )
del Lagrangiano debe satisfacer la ecuación
∂L2∂V= −Ω− 1V(A-09)
Si la matriz
Ω− 1
de ecuación
(A-02)
es simétrica, es decir si los elementos de las matrices
C− 1
y
L− 1
satisfacer la condición
(ξ1−ξ2) η= (η1−η2) ξ(A-10)
entonces
L2( V ,V˙, t ) = −12[ (Ω− 1V ) ⋅ V ](A-11)
y entonces
L ( V ,V˙, t ) =L1( V ,V˙, t ) +L2( V ,V˙, t )para simétrico Ω− 1=12(V˙⋅V˙) -12[ (Ω− 1V ) ⋅ V ]+[ (C− 1J ) ⋅ V ]+[ (Ω− 1K ) ⋅ V ](A-12)
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§
B. El caso general: una forma sistemática de encontrar el Lagrangiano para dos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden acopladas
Los esfuerzos para encontrar un Lagrangiano para dos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden acopladas (como en la pregunta) no tendrían éxito debido a la llamada′′ ′
términos cruzados′′ ′
que aparecen en un paso intermedio, por ejemplo términos comoV1V2,V˙1V˙2,V˙1V2
etc. Estos términos "acoplan" las dos ecuaciones. Así que debemos encontrar un método para eliminar términos de este tipo. Esto nos dará primero dos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden desacopladas y luego un Lagrangiano bien definido.
Debido a la linealidad hacemos un cambio de las variables de edadV1,V2
a la nuevaq1,q2
a través de una transformación lineal
V1V2=a11q1+a12q2=a21q1+a22q2(B-01a)(B-01b)
o
V =⎡⎣⎢V1abV2ab⎤⎦⎥=⎡⎣⎢a11a21a12aba22ab⎤⎦⎥⎡⎣⎢pag1abpag2ab⎤⎦⎥= A q(B-02)
eso es
V =A q,un =⎡⎣⎢a11a21a12aba22ab⎤⎦⎥(B-03)
e intentaremos encontrar, si existe, una transformación invertible
A
eso elimina los términos cruzados y desacopla las dos ecuaciones.
Si en nuestra ecuación inicial
V¨+Ω− 1V =C− 1J +Ω− 1k(B-04)
aplicamos desde la izquierda la transformación
A− 1
tenemos
A− 1V¨+A− 1Ω− 1V =A− 1C− 1J +A− 1Ω− 1k(B-05)
Haciendo uso de
(B-03)
reemplazamos
V
por
una q
entonces
A− 1( Unq¨) +A− 1Ω− 1( una q) =A− 1C− 1J +A− 1Ω− 1k
eso es
q¨+ (A− 1Ω− 1A ) q= (A− 1C− 1A ) j + (A− 1Ω− 1A ) k(B-06)
o
q¨+ Wq= tuj +wkdóndeW=A− 1Ω− 1A,tu=A− 1C− 1A,j =A− 1j,k =A− 1k(B-07a)(B-07b)
Ahora, las dos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden
(B-07a)
estaría desacoplada si la matriz
W
podría ser diagonal
W=A− 1Ω− 1un =⎡⎣⎢w100abw2ab⎤⎦⎥(B-08)
Este desacoplamiento se muestra explícitamente a continuación.
q¨1+w1pag1q¨2+w2pag2=( túj )1+( Wk )1=( túj )2+( Wk )2(B-09a)(B-09b)
Estos dos independientes
′′ ′
mociones
′′ ′
se denominan
modos normales y las variables
q1,q2
coordenadas normales .
Ahora, desde(B-08)
las constantesw1,w2
son los valores propios de la matrizΩ− 1
mientras que las columnas de la matrizA
son los vectores propios respectivamente
a1a2=⎡⎣⎢a11aba21ab⎤⎦⎥= vector propio de valor propio w1=⎡⎣⎢a12aba22ab⎤⎦⎥= vector propio de valor propio w2(B-10a)(B-10b)
Tenga en cuenta que dependiendo de la matriz
Ω− 1
los valores propios
w1,w2
pueden ser tanto reales como complejos conjugados.
Ahora, dado que la matriz diagonalW
es simétrico hacemos uso de los resultados de§
A y construimos el Lagrangiano para las ecuaciones de Euler-Lagrange(B-09a)
,(B-09b)
según la ecuación(A-12)
L ( q,q˙, t ) =12(q˙⋅q˙) -12[ ( Wq) ⋅q _ab] + [ ( Uj )⋅ qab] + [ ( Wk )⋅ qab](B-11)
Explícitamente
L ( q,q˙, t )=12(q˙21+q˙22) -12(w1q21+w2q22)+ [( túj )1+( Wk )1ab]q1+ [( túj )2+( Wk )2ab]q2(B-12)
Tenga en cuenta que el lagrangiano anterior no contiene
′′ ′
términos cruzados
′′ ′
como
q1q2,q˙1q˙2,q˙1q2
etc. Uso de este Lagrangiano en las siguientes ecuaciones
ddt _(∂L∂q˙1) -∂L∂q1= 0ddt _(∂L∂q˙2) -∂L∂q2= 0(B-13a)(B-13b)
produce ecuaciones
(B-09a)
y
(B-09b)
como se esperaba.
Ahora, basado en(B-11)
podemos construir el lagrangianoL ( V ,V˙, t )
para las coordenadas inicialesV1,V2
deL ( q,q˙, t )
. Simplemente reemplazamosq
porA− 1V
en(B-11)
y tenemos
L ( V ,V˙, t ) =12[ (A− 1V˙) ⋅ (A− 1V˙)ab] -12[ (A− 1Ω− 1V ) ⋅ (A− 1V )ab]+ [ (A− 1C− 1J ) ⋅ (A− 1V )ab] + [ (A− 1Ω− 1K ) ⋅ (A− 1V )ab](B-14)
Si
Ω− 1
es (real) simétrico entonces el Lagrangiano de
(B-14)
debe ceder la de
(A-12)
. Pero estas dos expresiones son muy diferentes y parece que aquí tenemos una contradicción. Pero no hay contradicción: en caso de matriz simétrica
Ω− 1
los valores propios
w1,w2
ambos son reales, los vectores propios
a1,a2
de ecuaciones
(B-10a)
,
(B-10b)
son ortogonales y la matriz
A
de ecuaciones
(B-02)
,
(B-03)
es ortogonal. Para esta matriz tenemos
A− 1=A⊤= transpuesta de A
. reemplazando
A− 1
por
A⊤
la expresion
(B-14)
se vuelve idéntico a
(A-12)
.En otras palabras, desde
A− 1
también es ortogonal, deja invariante el producto interno de dos vectores, por lo que en
(B-14)
Podríamos reemplazar cualquier producto interno.
(A− 1X ) ⋅ (A− 1y )ab
por
( x ⋅ y )ab
.
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Relacionado 1: Derivación de la densidad lagrangiana del campo electromagnético .
Relacionado 2: La densidad lagrangiana de la ecuación de Schroedinger .
Relacionado 3: Obtener el Lagrangiano del sistema de ecuaciones acopladas .
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