Transformaciones de congruencia de matrices

No tengo su libro, y sería reacio a aplicar una caja de sombras y leerlo mal mediante una ingeniería inversa virtual... El punto ciertamente confuso en la transformación del eje principal que está considerando se trata meticulosamente y con amabilidad en la Mecánica clásica de Goldstein. libro, cap. 10-2. Básicamente tienes razón en que es arbitrario.$\mathbf{M}$y$\mathbf{K}$falsificará su declaración. Anticipando lo que sigue a continuación, se trata de una especie de ortogonalidad en un espacio no cartesiano, y la generalización desenfrenada apenas vale la pena.

Mi contraejemplo sería usar matrices de Pauli hermitanas. Entonces, tome a ciegas una matriz "masiva" desagradable,

$$\mathbf{M} = \sigma_2= \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix},$$ (lo que conducirá a imaginarios$\omega^2$s!) y uno de potencial real simétrico,$\mathbf{K}= \sigma_1 =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}.$Tu ecuación de movimiento$\ddot{\mathbf{q}}= - \mathbf{M}^{-1} \mathbf{K}\mathbf{q}= i\sigma_3 \mathbf{q}$se resuelve fácilmente por $$e^{\pm \sqrt{i} t} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} , ~~~\hbox {and } ~~~ e^{\pm \sqrt{-i}t} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix},$$ por lo que su matriz modal$\mathbf{A}= I= \mathbf{A}^T$, bastante triste para diagonalizar cualquier cosa. (Habría encontrado la misma matriz modal de su determinante).

Sin embargo, hay condiciones en$\mathbf{M}$, igual que en$\mathbf{K}$. Normalmente es real, simétrico y definido positivo, y conducirá a$^\dagger$ real $\omega^2$. Entonces, primero puede diagonalizarla mediante una transformación ortogonal y luego absorber los valores propios positivos de la matriz diagonal resultante en una redefinición/cambio de escala de las coordenadas por su raíz cuadrada. Como resultado, el nuevo$\mathbf{M}=I$y habitual real, simétrica$\mathbf{K}$'s recaen en reales, simétricos.

Pero ahora su ecuación de valores propios se ha convertido en$\mathbf{K}\mathbf{q} = \omega^2 \mathbf{q}$, con valor propio real, cuya ecuación secular se ha convertido en$\det ( \mathbf{K} -\omega^2 I )=0$, mientras que su matriz modal$\mathbf{A}= \mathbf{R}$es solo una rotación ortogonal,$\mathbf{R}^T= \mathbf{A}^{-1}$, y se diagonaliza$\mathbf{K}$, dejando la matriz de masa de identidad sola.

Ahora, la multitud respetable piensa en$\mathbf{M}$como una especie de métrica efectiva del espacio de modos normales, pero, como se indicó, para real simétrico$\mathbf{M}$y$\mathbf{K}$, el primero con valores propios positivos distintos de cero, los tipos de asiento de los pantalones pueden pensar en la congruencia como una composición de rotaciones y un cambio de escala suave de coordenadas, solo una arruga en un problema de diagonalización monótono.

• Aquí está la ilustración más simple que se me ocurrió. Llevar $$\mathbf{K} =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, ~~~~~\hbox{but} ~~~~ \mathbf{M} =\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} .$$ La matriz de masa no es invariante bajo rotaciones, por lo que podríamos rotar ambas matrices para que no sea diagonal, pero supongamos que ya hizo lo contrario.

Luego comience con la deconstrucción que describí. Reescalar$\mathbf{q} \equiv \mathbf{S} \mathbf{x}$con$\mathbf{S} = \mathbf{S}^T$=diag (1/2, 1), de modo que

$$\mathbf{S}\mathbf{K}\mathbf{S}\mathbf{x}= \omega^2 \mathbf{x}$$ es ahora una ecuación de valores propios de buena fe! (Sucede que la matriz de la izquierda es$\mathbf{K} /2$aquí.)

Los vectores propios para el simétrico$\mathbf{S}\mathbf{K}\mathbf{S}$son los habituales para$\sigma_1$,

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ \mp 1 \end{bmatrix} ,$$ mutuamente ortogonales, por lo que la matriz modal ahora es ortogonal, y diagonaliza esta matriz potencial transformada, dejando la identidad$\mathbf{S}\mathbf{M}\mathbf{S}=I$solo, así también diagonal. Esencialmente trivial. ¿Cómo se presenta esto en el lenguaje de congruencia de su pregunta?

Resolviendo el mismo sistema ab initio, pero ahora sin el beneficio de la rotación y el cambio de escala anteriores, se obtienen vectores nulos

$$\mathbf{a}_{1,2}= \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 1 \\ \mp 2 \end{bmatrix} ,$$ con verdadero $\omega^2$y una matriz modal invertible $$\mathbf{A}=\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ -2 & 2 \end{bmatrix} ,$$ que definitivamente no es ortogonal ($\propto \mathbf{S}\mathbf{R}$); pero por supuesto diagonaliza ambos$\mathbf{K}$y$\mathbf{M}$(más bien, sale de la última diagonal) por razones evidentes, considerando la simple deconstrucción anterior. Una verdadera relación de equivalencia. Un cambio de base a modos normales, $$\mathbf{A}\mathbf{e}_i=\mathbf{a}_i .$$

Armado con esa intuición, puede proceder a elegir un camino formalmente aceptable para las declaraciones del libro, probablemente a lo largo de las líneas de la nota al pie.

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$\dagger$ _Considerar

$$\mathbf{a}_i^* \cdot (\mathbf{K}-\omega_i^2\mathbf{M})\mathbf{a}_i = 0 \implies \omega_i^2= \mathbf{a}_i^* \cdot \mathbf{K} \mathbf{a}_i / \mathbf{a}_i^* \cdot \mathbf{M}\mathbf{a}_i$$ sin suma implícita sobre los índices de modo i . Así que todo$\omega_i^2$Son reales. También puede mostrar los vectores nulos$\mathbf{a}_i$son mutuamente ortogonales con respecto a una métrica$\mathbf{M}$, y ortonormalizarlos st$\mathbf{a}_i^* \cdot \mathbf{M}\mathbf{a}_j=\delta_{ij}$, como efectivamente se hizo menos formalmente arriba.

por qué$A^T\,M\,A$y$A^T\,K\,A$son matrices diagonales.

queremos resolver esta ecuación diferencial vectorial

$$\,M\,\vec{\ddot q}+K\,\vec{q}=0\tag 1$$ o $$\vec{\ddot q}+M^{-1}\,K\,\vec{q}=0\tag 2$$

para resolver la ecuación (2) hacemos este Ansatz:

$\vec{q}=\Re(\vec{a}\,e^{i\omega\,t})$

por lo tanto la ecuación (2)

$$\underbrace{(-\omega^2\,I+M^{-1}\,K)}_{E }\,\vec{a}=0\tag 3$$

con$\det(E)=0$obtienes los valores propios$\omega_i^2$y para cada$\omega_i^2$los vectores propios$\vec{a}_i$

dónde$\vec{a}_i^T\,\vec{a}_j=1 \quad \text{for } i=j$y$\vec{a}_i^T\,\vec{a}_j=0 \quad \text{for } i\ne j$

la matriz de transformación$A$se construye con los vectores propios$\vec{a}_i$

$$A=\left[\vec{a}_1\,,\vec{a}_2\,,\ldots\,,\vec{a}_n\right]$$

de este modo:

$$A^T\,M^{-1}\,K\,A=\Lambda$$ dónde$\Lambda$es$n\times n$matriz diagonal

$$\Lambda=\text{diagonal}\left[\omega_1^2\,,\omega_2^2\,,\ldots\,,\omega_n^2\right]$$

podemos transformar$\vec{q}$con la matriz$A$y obten:$\vec{q}=A\,\vec{q}_m$por lo tanto la ecuación (1)

$$A^T\,M\,A\,\vec{\ddot q}_m+A^T\,K\,A\,\vec{q}_m=0\tag 4$$

o:

$$\vec{\ddot q}_m+\left(A^T\,M\,A\right)^ {-1}\,\left(A^T\,K\,A\right)\vec{q}_m=0\tag 5$$

con:

$$\underbrace{\left(A^TM\,A\right)^{-1}}_{Q_1} \underbrace{\left(A^T\,K\,A\right)}_{Q_2}= A^TM^{-1}AA^TKA=A^T\,M^{-1}KA=\Lambda$$

porque$\Lambda$es matriz diagonal por lo tanto$Q_1$y$Q_2$debe ser una matriz diagonal, por lo tanto

$A^T\,M\,A$y$A^T\,K\,A$son matrices diagonales. qed

Ejemplo:

$$M=K= \left[ \begin {array}{cc} 1&1\\ 1&-1\end {array} \right]$$

$$M^{-1}K=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

por lo que los valores propios son:$\omega_1^2=\omega_2^2=1$

debido a que los valores propios son iguales, debe usar el enfoque de Jordan para obtener los vectores propios, por lo tanto, la matriz de transformación$A=[\vec{a}_1\,,\vec{a}_2]$

$$A=\left[ \begin {array}{cc} 1&0\\ 1&1\end {array} \right]$$

$$A^TMA=A^TKA=\begin{bmatrix} 2 &0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix}$$

y la solución es la parte real de esta ecuación:

$$\vec{q}(t)=(c_1\vec{a}_1+c_2\vec{a}_2)e^{i\,t}$$

dónde$c_1$y$c_2$son constantes complejas.

con$c_1=c_{1R}+i\,c_{1I}\quad,c_2=c_{2R}+i\,c_{2I}$

obtienes la solución

$$q_1(t)=c_{1R}\cos(t)-c_{1I}\sin(t)$$ $$q_2(t)=(c_{1R}+c_{2R})\cos(t)-(c_{1I}+c_{2I})\sin(t)$$

tienes cuatro constantes para cuatro condiciones iniciales