¿Cuál es la interpretación física de un modo normal arbitrario para masas y resortes?

Considere el siguiente sistema que consta de 3 masas y 4 resortes:

tres masas y cuatro resortes todos en serie

He aprendido que este sistema posee tres modos normales, correspondientes a sus tres frecuencias naturales, digamos ω 0 , ω 1 y ω 2 .

Estoy interesado en el movimiento de las masas que representa cada uno de los tres modos normales.
Sé que un modo normal corresponde a la masa media. metro 2 siendo fijo y las otras masas exteriores metro 1 y metro 3 moviéndose en direcciones opuestas con la misma frecuencia... Pero ¿qué pasa con los otros dos modos normales?
Para un sistema de 2 masas y 3 resortes, he aprendido que el primer modo normal representa el movimiento de las dos masas, con la misma frecuencia y con la misma fase; mientras que la segunda normal representa el movimiento de las dos masas, con alguna otra frecuencia común pero con desfase de noventa grados (una se mueve en dirección opuesta a la otra).

Pero, ¿qué pasa con un sistema de 3 masas y 4 resortes? O decir, norte masas y ( norte + 1 ) muelles ?

He encontrado muchas demostraciones matemáticas (con vectores propios y valores propios) de la solución de este sistema, que representa el movimiento de las masas, pero no puedo ver la interpretación física.

La interpretación física es que cualquier movimiento libre de este sistema puede entenderse como una superposición de sus modos propios moviéndose a sus frecuencias propias (cuidado con las complicaciones en caso de degeneraciones).
la respuesta viene, pero tenga en cuenta que los modos normales dependerán de los valores de las masas y la fuerza de los resortes: sería posible hacer algunas predicciones útiles si, por ejemplo, todas las masas son iguales y todos los resortes tienen la misma k.

Respuestas (2)

Si tu dejas X i ser la posición del metro i , puedes escribir un conjunto de ecuaciones acopladas

( metro 1 X 1 ¨ metro 2 X 2 ¨ metro 3 X 3 ¨ ) = A ( X 1 X 2 X 3 )
dónde A da las fuerzas de los resortes. Con más masas y resortes tienes más líneas en la ecuación. Si todas las masas son iguales, puedes dividirlas en A . Las frecuencias se encuentran encontrando los valores propios de A y las modas encontrando los vectores propios correspondientes. En términos generales, los modos serán como los modos de una cadena. El modo más bajo tendrá todas las masas moviéndose en la misma dirección, ya que esto produce el menor estiramiento en los resortes. El siguiente modo tendrá un cambio de dirección, por lo que el lote de masas de la izquierda oscilará en sentido opuesto al lote de masas de la derecha. Cada modo superior tendrá otro cambio de signo.

Hombre, estaba pensando exactamente así. ¿Puede decirme si las masas se moverán con una frecuencia común (pero tal vez con una amplitud distinta) en todos estos modos normales?
Sí, la frecuencia común es de donde proviene la materia propia. Asumes que cada masa se mueve con una frecuencia común, pero con su propia amplitud y fase. Entonces X ¨ i = ω 2 X i , usted obtiene ( A − ω 2 ) X → = 0 y desea soluciones no triviales.
Esta respuesta fue fantástica. La simple comparación con la cuerda hace que la interpretación física de los modos normales de cualquier sistema oscilatorio acoplado sea muy clara. Me sorprende que no haya podido encontrar una información tan útil en la literatura. Gracias un montón.
Ojalá pudiera votar más :(

Espero que esto sea útil como respuesta a su pregunta, porque aunque esto no se trata de su sistema exacto, brinda una interpretación útil de lo que son los modos normales.

Para la molécula de agua podemos considerarla como tres masas unidas por dos resortes idénticos. Al igual que su sistema, hay tres modos normales, que se pueden representar como los siguientes movimientos que se muestran en el diagrama (tomado de http://www4.ncsu.edu/~franzen/public_html/CH795N/lecture/XIV/image964.gif )

ingrese la descripción de la imagen aquí

Entonces, hay tres modos normales distintos de movimiento de la molécula de agua, que pueden entenderse como los siguientes movimientos de la molécula de agua.

De la misma manera, los modos normales que calcule para su sistema corresponderán a diferentes movimientos cooperativos de las tres masas. Espero que esto sea útil.

Sugiero que sus modos se parezcan a los modos a continuación: tenga en cuenta que la diferencia entre 2 y 3 es que en 3 todos los movimientos están 'en fase' y en 2 las moléculas en los extremos se están moviendo π 2 o 90 grado fuera de fase entre sí

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tenga en cuenta que estos son para masas iguales y resortes iguales e incluso entonces es posible que me haya equivocado.

Sí, pero ¿podrías decirme qué movimientos? Sé que un modo normal corresponde a la masa media metro 2 ser arreglado mientras metro 1 y metro 3 moverse en direcciones opuestas. ¿Qué pasa con los otros dos modos normales?
ok - publicaré sugerencias
¿Está seguro de que el segundo modo no corresponde a todas las masas que se mueven en la misma dirección, como sugirió Ross Milikan?
@nerdy: no Ross probablemente sea correcto, pero con todos estos, el movimiento real dependerá de los valores de las masas y las constantes de resorte.
¿Cuál es la interpretación física de un modo normal arbitrario para masas y resortes?
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