Frecuencias propias de los modos normales

Lo mejor que puedes hacer es mirar los vectores propios. Esto le dirá todo lo que necesita saber.

De todos modos,$0$corresponde a todas las masas girando al unísono.

Otro modo corresponde a masas vecinas que se acercan y alejan unas de otras, simétricamente. Aquí puede elegir una coordenada generalizada$x$ser la distancia entre un par de masas vecinas. La energía potencial es entonces$\frac{k}{2} (2x^2 + 2(\pi r - x)^2) + \dots$mientras que la energía cinética es de la forma$\frac{m}{2} 4(\frac{\dot x}{2})^2$.

Creo que un modo final implica que dos masas opuestas permanezcan fijas, mientras que las otras masas entre ellas oscilan. Las masas oscilantes se mueven en direcciones opuestas, de modo que las fuerzas sobre las masas estacionarias permanecen equilibradas. En este último caso, se pueden sustituir las masas fijas por puntos inmóviles (simetría). Luego, cada una de las masas restantes tiene dos resortes unidos, lo que da una constante de resorte efectiva de$2k$. (En coordenadas generalizadas, el potencial de una masa es$\frac{k}{2} r^2(\theta_1)^2 + \frac{k}{2}r^2(\theta_1 - \pi)^2 + \dots$, por lo que el término principal es$\sim \frac{2k}{2} x^2$)