Mecánica de Landau - Modos normales de oscilación

Question

Mecánica de Landau - Modos normales de oscilación

Física
modos normales
álgebra lineal
osciladores acoplados
formalismo lagrangiano

fresco

En el libro de Mecánica de Landau hay una sección en la que explica las pequeñas oscilaciones en sistemas con $s \geq 1$ grados de libertad. Escribe las energías cinética y potencial como

T = \sum_{i, k} \frac{1}{2} a_{i k} (q_{0}) {\dot{q}}_{i} {\dot{q}}_{k} tu = \sum_{i, k} \frac{1}{2} k_{i k} X_{i} X_{k}

$T = \sum_{i, k} \frac{1}{2}a_{ik}(q_0)\dot{q}_i\dot{q}_k \hspace{1cm} U = \sum_{i, k} \frac{1}{2}k_{ik}x_ix_k$ dónde

q_{0}

$q_0$ es un punto de equilibrio estable, de modo que la matriz

K = (k_{i k})

$K = (k_{ik})$ es definida positiva y

x = q - q_{0}

$x = q - q_0$ . Además, pone

a_{i k} (q_{0}) = m_{i k}

$a_{ik}(q_0) = m_{ik}$ , de modo que

T = \sum_{i, k} \frac{1}{2} {metro}_{i k} {\dot{q}}_{i} {\dot{q}}_{k}

$T = \sum_{i, k} \frac{1}{2}m_{ik}\dot{q}_i\dot{q}_k$ Usando las ecuaciones de Lagrange mientras busca soluciones de la forma

x_{k} = A_{k} e^{i ω t}, A_{k}, ω \in C

$x_k = A_k e^{i\omega t}, \; A_k, \omega \in \mathbb{C}$ , el obtiene

\sum_{k} (- ω^{2} {metro}_{i k} + k_{i k}) A_{k} = 0

$\sum_k (-\omega ^2m_{ik} + k_{ik})A_k = 0$ que se puede reescribir en forma matricial como

(- ω^{2} M + K) A = 0

$(-\omega ^2M + K)A = 0$ . Ambos

M

$M$ y

K

$K$ son definidas positivas y, por lo tanto, invertibles, por lo que la última ecuación es equivalente a

(M^{- 1} K - ω^{2} I) A = 0

$(M^{-1}K - \omega^2 I)A = 0$ . Entonces, lo que Landau está buscando son los valores propios y los vectores propios de

M^{- 1} K

$M^{-1}K$ . Luego dice que, siempre que los valores propios sean todos diferentes, los componentes

A_{k}

$A_k$ de

A

$A$ son proporcionales a los menores del determinante de

(M^{- 1} K - ω^{2} I)

$(M^{-1}K - \omega^2I)$ , con

ω^{2}

$\omega^2$ valor propio

¿Por qué es esto? La regla de Cramer es inútil porque la matriz no es invertible.

Mi razonamiento es el siguiente: poner $C = \frac{M^{-1}K}{\omega^2}$ . Entonces nosotros tenemos $CA = A$ . Si consideramos el determinante de la matriz C cuya $i$ la columna se sustituye por $A$ , obtenemos

D (C^{1}, \dots, C^{i - 1}, A, C^{i + 1}, \dots, C^{s}) = D (C^{1}, \dots, C^{i - 1}, \sum_{j} A_{j} C^{j}, C^{i + 1}, \dots, C^{s}) = A_{i} D (C)

$D(C^1, \dots, C^{i-1}, A, C^{i+1}, \dots, C^s) = D(C^1, \dots, C^{i-1}, \sum_j A_jC^j, C^{i+1}, \dots, C^s) = A_i D(C)$ y entonces

A_{i} = \frac{D (C^{1}, \dots, C^{i - 1}, A, C^{i + 1}, \dots, C^{s})}{D (C)} = \frac{1}{D (C)} \sum_{k} {METRO}_{i k} A_{k}

$A_i = \frac{D(C^1, \dots, C^{i-1}, A, C^{i+1}, \dots, C^s)}{D(C)}= \frac{1}{D(C)}\sum_k M_{ik}A_k$ donde la última igualdad se sigue de la expansión de Laplace del determinante en el numerador y

M_{i k}

$M_{ik}$ son coeficientes que son proporcionales a los menores de

C

$C$ .

¿Cómo concluyo que los coeficientes $A_k$ son proporcionales a los menores?

EDITAR: Estoy buscando una prueba de este hecho.

fénix87

¿Responde esto a tu pregunta? ¿Por qué los coeficientes de solución de un oscilador armónico son proporcionales a los menores del determinante?

fresco

No realmente, estaba buscando una prueba... Sin embargo, leí esa publicación.

Cosmas Zachos

Vinculado .

fresco

No entiendo completamente cómo su publicación se relaciona con mi pregunta ...

Cosmas Zachos

Vinculado .

Respuestas (1)

Mecánica de Landau - Modos normales de oscilación

¿Responde esto a tu pregunta? ¿Por qué los coeficientes de solución de un oscilador armónico son proporcionales a los menores del determinante?
No realmente, estaba buscando una prueba... Sin embargo, leí esa publicación.
No entiendo completamente cómo su publicación se relaciona con mi pregunta ...

Cosmas Zachos · Answer 1

Los componentes del vector nulo son en realidad cualquier columna de la matriz del cofactor transpuesto, entonces, la fabulosa y maravillosa matriz adjunta .

Para una matriz N dada , está buscando el vector nulo, por lo que $\det (N)=0$ . Ahora la transpuesta de la matriz de cofactores es

adj. (norte) = C^{T},

$\operatorname{Adj}(N)=C^T,$ donde C , la matriz cofactor de N , tiene los menores permutados de signo correctamente en las entradas correspondientes. La propiedad del adyuvante es que

norte adj. (norte) = 1 1 det (norte) .

$N ~\operatorname{Adj}(N)= 1\!\!1 ~ \det (N).$ Pero asumimos

det (N) = 0

$\det (N)=0$ , por lo que el lado derecho de lo anterior desaparece.

Cualquier columna de la matriz adjunta es un buen vector nulo de N , por lo que las respuestas a la pregunta que lee vinculada por @ Phoenix87 y Landau no se molestan en especificar qué fila eligen para calcular los cofactores. ¡ En este caso , el rango del Adjugate es solo 1!

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