Determinante y adjunto de k−ω2mk−ω2mk-\omega^2m en términos de frecuencias naturales

El determinante es bastante fácil de calcular. Ya conoces, esencialmente, los valores propios de la matriz de rigidez; con más precisión, conoce los valores propios de la matriz$\mathbf{m}^{-1}\mathbf{k}$, porque el$\omega_i$son ceros de la ecuacion

$$0=\det(\mathbf{m}^{-1}\mathbf{k}-\omega^2).$$ (Los más estéticos reemplazarían $\mathbf{m}^{-1}\mathbf{k}$con $\mathbf{m}^{-1/2}\mathbf{k}\,\mathbf{m}^{-1/2}$para obtener una matriz hermítica, pero no importa). Si expresas el segundo determinante en la base propia correspondiente, obtienes $$\det(\mathbf{k}-\mathbf{m}\,\omega^2)=\det(\mathbf{m})\det(\mathbf{m}^{-1}\mathbf{k}-\omega^2) =\frac{m^3}2\det\begin{pmatrix} \omega_1^2-\omega^2 & 0 & 0 \\ 0 & \omega_2^2-\omega^2 & 0 \\ 0 & 0 & \omega_3^2-\omega^2 \end{pmatrix},$$ que da la expresión de su libro de texto. De manera más general, esta es una expresión del principio de que el determinante de una matriz es el producto de sus valores propios.

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El adjunto, por otro lado, no satisface (que yo sepa) ninguna relación tan agradable; en cualquier caso, es una bestia desagradable con la que lidiar y creo que pocas personas lo sustituyen juiciosamente en la definición$k=m\omega_2^2/2$de$\omega_2$en lugar de$k$.

Sospecho que está abrumado por la plétora de variables que oscurecen la simetría ciclométrica fundamental del problema. Puede escalar todos menos uno de ellos fuera de la matriz simétrica M , parte de cuya inversa (simétrica) está buscando, en realidad, redefiniendo

$${\bf{M}} \equiv {\bf{k}}-\omega^2 {\bf{m}}= -k \left[\begin{matrix} 2(x-1) & 1 & 0 \\ 1 & 2(x-1) & 1 \\ 0 & 1 & x-1 \end{matrix}\right],$$ dónde $x\equiv\frac{\omega^2 m}{2k}$.

La simetría ciclométrica (Mercedes-Benz) de sus valores propios es entonces evidente a partir de su determinante simple, una vez que reconoce la fórmula del triple ángulo para el seno en él,$\det {\bf M}= - k^3 (x-1)(4(x-1)^2-3)= - k^3 (x-1)(x-1-\frac{\sqrt{3}}{2}) (x-1+\frac{\sqrt{3}}{2})$, mostrando los senos de las 3 raíces de la unidad. Este resultado solo es útil para factorizar el polinomio cúbico a partir del inverso de M , lo que sabes que es posible ya que el adjunto, adj M = det M M$^{-1}$es un polinomio en x , y no una razón de polinomios.

Sin embargo, es más fácil encontrar la tercera columna de la inversa (que es todo lo que necesita para su solución) directamente, resolviendo las tres condiciones triviales de solo la tercera columna de${\bf M ~ M}^{-1}={\bf I}$. Sabes por la discusión anterior que tu respuesta debe tener un factor inverso de$(x-1)(x-1-\frac{\sqrt{3}}{2}) (x-1+\frac{\sqrt{3}}{2})$en él, resumiendo las resonancias del sistema, que se comprueba que tiene; y la transposición de esta tercera columna del adjunto es simplemente$k^2 (1, 2(1-x), 4(1-x)^2-1)$, que es solo la expresión de su libro de texto y, por supuesto, la suya, una vez que se reemplazan las raíces del determinante, los ceros. La última entrada es$k^2((x-1-\frac{\sqrt{3}}{2}) (x-1+\frac{\sqrt{3}}{2}) +2)$, por supuesto.

Aunque, como argumenta Kyle Kanos en el comentario, este es estrictamente un problema de álgebra lineal, las técnicas de simetría empleadas y la metodología utilizada son el pan y la mantequilla de la física, y bien se podría argumentar que los físicos normalmente son más rápidos, si no mejores, en el manejo aquellos.

Exceso académico PD : si, más allá del alcance de su problema, estaba interesado en el inverso completo, inútil aquí, solo necesita explotar la observación trigonométrica anterior y cambiar las variables por última vez,$x-1\equiv \sin \phi$, el dictado esencialmente por la ciclometricidad del problema. Entonces es sencillo observar que el adjunto es realmente elegante,

$${\bf{I}} = \left[\begin{matrix} 2\sin \phi & 1 & 0 \\ 1 & 2\sin \phi & 1 \\ 0 & 1 & \sin \phi \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} -\cos (2\phi) & -\sin \phi & 1 \\ -\sin \phi & 2\sin^2 \phi & -2\sin \phi \\ 1 & -2\sin \phi & 1-2\cos(2\phi) \end{matrix}\right] ~ {\Large /}\sin (3\phi),$$ que por supuesto contiene la respuesta anterior.