¿Qué son las conexiones en física?

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¿Qué son las conexiones en física?

MNRaia

Esta pregunta surge de un malentendido personal sobre una conversación con un amigo mío. Me hizo una pregunta sobre la "verdadera naturaleza" de los espinores, es decir, me hizo una pregunta sobre qué es un objeto espinor. Después de unas pocas líneas de diálogo, me preguntó algo bastante extraño para mí:

"Entonces, ¿los espinores son conexiones de Levi-Civita?"

La relación entre un objeto matemático que modela entidades físicas en la teoría de campos (un espinor de Dirac, por ejemplo) y una entidad puramente matemática como una conexión Levi-Civita, todavía me intriga.

Ahora, hoy encontré esta pregunta aquí:

¿Bajo qué representación se transforman los símbolos de Christoffel?

y en la segunda respuesta, el usuario hizo otra relación entre teoría de campos y conexiones:

"Los 'símbolos de Christoffel' ahora son solo los componentes de una conexión principal en ese paquete, donde los físicos conocen mejor una 'forma de conexión' como un campo de calibre"

Hago esta pregunta porque, desde el punto de vista de la relatividad general elemental, se nos enseña que necesitamos una variedad pseudo-riemanninana y una conexión (Levi-Civita) para, en términos generales, hacer una noción bien definida de derivada de campos tensoriales. Desde este punto de vista, una conexión no es más que un mapa lineal.

Entonces, ¿qué son las conexiones en física, DE VERDAD?

AccidentalFourierTransformar

Una conexión en física es, de hecho, una conexión , en el sentido matemático estricto. Una conexión tiene una definición precisa y, en física, usamos esa definición (a veces implícitamente o sin que lo sepamos). No estoy seguro de qué más quieres saber.

knzhou

"La relación entre un objeto matemático que modela entidades físicas [...] y una entidad puramente matemática como una conexión Levi-Civita, todavía me intriga". ¿Cuál crees que es la diferencia entre un objeto matemático y uno "puramente" matemático? ¿Por qué los espinores de Dirac son menos "puramente" matemáticos que las conexiones?

G. Smith

Solo pienso en las conexiones como derivadas covariantes. En GR, desea derivados que sean covariantes bajo transformaciones de coordenadas generales, y "agregar" símbolos de Christoffel logra esto. En las teorías de calibre, desea derivadas que sean covariantes bajo una transformación de calibre interna, y "agregar" campos de calibre logra esto. Hay un nivel de abstracción en el que son lo mismo, pero cuando aprendes GR y QFT por primera vez, no estoy convencido de que tengas que entenderlo.

G. Smith

No era obvio para las primeras personas que hicieron GR y QFT. Si entiendo correctamente, surgió después de que los geómetras diferenciales generalizaron variedades con un espacio tangente en cada punto y variedades con "un grupo de Lie en cada punto" en el concepto de un haz de fibras.

G. Smith

En cualquier caso, los espinores no son conexiones, pero hay "conexiones de espín" para los espinores que se diferencian covariantemente.

Respuestas (3)

¿Qué son las conexiones en física?

Una conexión en física es, de hecho, una conexión , en el sentido matemático estricto. Una conexión tiene una definición precisa y, en física, usamos esa definición (a veces implícitamente o sin que lo sepamos). No estoy seguro de qué más quieres saber.
"La relación entre un objeto matemático que modela entidades físicas [...] y una entidad puramente matemática como una conexión Levi-Civita, todavía me intriga". ¿Cuál crees que es la diferencia entre un objeto matemático y uno "puramente" matemático? ¿Por qué los espinores de Dirac son menos "puramente" matemáticos que las conexiones?
Solo pienso en las conexiones como derivadas covariantes. En GR, desea derivados que sean covariantes bajo transformaciones de coordenadas generales, y "agregar" símbolos de Christoffel logra esto. En las teorías de calibre, desea derivadas que sean covariantes bajo una transformación de calibre interna, y "agregar" campos de calibre logra esto. Hay un nivel de abstracción en el que son lo mismo, pero cuando aprendes GR y QFT por primera vez, no estoy convencido de que tengas que entenderlo.
No era obvio para las primeras personas que hicieron GR y QFT. Si entiendo correctamente, surgió después de que los geómetras diferenciales generalizaron variedades con un espacio tangente en cada punto y variedades con "un grupo de Lie en cada punto" en el concepto de un haz de fibras.
En cualquier caso, los espinores no son conexiones, pero hay "conexiones de espín" para los espinores que se diferencian covariantemente.

usuario195162 · Answer 1

Las conexiones en física "son" las mismas que en matemáticas, pero generalmente se interpretan como potenciales de campo, con la excepción de GR.

La interpretación se deriva naturalmente del concepto de una derivada covariante: las transformaciones locales del campo que se está estudiando no deben cambiar la física involucrada (es decir, el Lagrangiano debe ser invariante), por lo que se introduce otro campo de "calibre" que tiene su propia dinámica para cancelar los cambios. de la transformación del campo de la materia.

Tomemos el caso de la electrodinámica cuántica: el lagrangiano (densidad) es

L = \bar{ψ} (i γ^{m} \partial_{m} + metro) ψ

$\mathcal{L}=\overline{\psi}\left(i\gamma^\mu\partial_\mu + m\right)\psi$

Puedes comprobar que es invariante bajo la transformación. $\psi\to e^{i\lambda}\psi$ cuando $\lambda$ es una constante Para que la transformación sea local "impulsamos" $\lambda$ a una función, pero ahora tenemos un término ofensivo $\overline{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\lambda e^{i\lambda}\psi$ ! Todo está bien si introducimos la derivada covariante $\mathcal{D}_\mu=\partial_\mu-ie_0A_\mu$ tal que $A_\mu\to A_\mu +\partial_\mu \lambda$ es la transformación correspondiente.

El lagrangiano completo es entonces

L = \bar{ψ} (i γ^{m} \partial_{m} + metro) ψ + {mi}_{0} \bar{ψ} γ^{m} A_{m} ψ + \frac{1}{4} F^{m v} F_{m v}

$\mathcal{L}=\overline{\psi}\left(i\gamma^\mu\partial_\mu + m\right)\psi + e_0\overline{\psi}\gamma^\mu A_\mu \psi + \frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$

dónde $F_{\mu\nu}$ es el tensor de intensidad de campo electromagnético introducido para tener en cuenta la dinámica del campo potencial (fotónico) $A_\mu$

Las conexiones en el contexto de la relatividad son, en cambio, la fuerza del campo gravitatorio, ya que en nuestra teoría actualmente aceptada, la gravedad no es un "campo de medida" como el campo de fotones. La identificación de la gravitación con la curvatura del espacio-tiempo hace que las partículas viajen según la ecuación geodésica que puede recuperar la habitual Ley de Gauss para la gravedad en el límite newtoniano.

"nuestra teoría de la gravedad actualmente aceptada no es un 'campo de medida' como el campo de fotones". Bueno, "conexión giratoria" $\omega$ es el "campo de calibre" de la teoría de calibre de la gravedad, donde el grupo de calibre es el espín (1,3) (doble cubierta del grupo de Lorentz).
@MadMax No estaba al tanto de eso. ¿La teoría de calibre de la gravedad es más generalmente aceptada que GR? ¿En qué libros/artículos puedo encontrar más información?
Aquí hay una referencia para medir la gravedad: journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.48.393

Gary Godofredo · Answer 2

Aquí hay una forma física en la que pienso en las transformaciones de calibre. Estamos muy interesados en mover objetos en el espacio-tiempo. Las traslaciones en el espacio-tiempo (junto con las rotaciones y los impulsos) obedecen claramente a los axiomas de un grupo de Lie (p. ej.: grupo de Poincaré). El operador $p^{\mu}$ es el grupo de Lie generador de traslaciones espacio-temporales, y $[p^i,p^j]=0$ para el grupo Poincaré. Esto predice que si trasladamos (solo traducimos... sin rotación, impulsos o tensiones) un objeto alrededor de un bucle, el objeto resultante será idéntico al que comenzamos. Desafortunadamente, eso no es lo que sucede con los objetos físicos reales.

Cuando en presencia de otras partículas cargadas, trasladamos una carga alrededor de un bucle, se realiza una transformación Q U(1) y la fase mecánica cuántica del objeto resultante cambia.

Cuando en presencia de otras partículas que interactúan débilmente, trasladamos un objeto alrededor de un bucle, las transformaciones $SU(2)_{Weak}$ se hacen, y el objeto se gira en otros estados de isospín débil.

Cuando en presencia de otra partícula que interactúa fuertemente, trasladamos un objeto alrededor de un bucle, las transformaciones $SU(3)_{Color}$ se hacen, y el objeto se rota a otros estados de color.

Cuando estamos en presencia de otra masa que "curva el espacio-tiempo", trasladamos un objeto alrededor de un bucle, se realizan las transformaciones GL(4) y el objeto resultante se gira, se impulsa o se tensa con respecto al objeto original (incluso ¡aunque cuidadosamente no hicimos rotaciones, impulsos o tensiones en el camino!).

Entonces, introducimos transformaciones de calibre para "parchar" los generadores de traducción $p^{\mu}$ , y una pequeña traducción ahora se convierte en:

(1 + d X^{m} {pag}_{m}) \to (1 + d X^{m} {PAG}_{m})

$(1+dx^{\mu}p_{\mu}) \rightarrow (1+dx^{\mu} P_{\mu} )$

{PAG}_{m} = {pag}_{m} + A_{m} q + B_{m k} I^{k} + C_{m norte} λ^{norte} + Γ_{m β}^{α} j_{α}^{β}

$P_{\mu}=p_{\mu} + A_{\mu}Q + B_{\mu k}I^k + C_{\mu n}\lambda^n + \Gamma_{\mu \beta}^{\alpha}J^{\beta}_{\alpha}$

Dónde $A, B, C, \Gamma$ son la conexión electromagnética, débil, fuerte y afín (=símbolo de Christoffel) "campos de calibre" (o también pueden llamarse coeficientes de conexión), y $Q,I,\lambda,J$ son los U(1), $SU(2)_{Weak}$ , $SU(3)_{Color}$ , y GL(4) generadores de grupos de calibre. Omití una constante de acoplamiento en cada uno de los términos anteriores para no confundir las cosas. Así se dice que el modelo estándar de la física de partículas es U(1) X $SU(2)_{Weak}$ X $SU(3)_{Color}$ … X GL(4), donde he agregado GL(4) al final para las personas que piensan en la Relatividad General como una teoría de calibre.

Por lo general, esta historia se presenta como remendar la derivada parcial $\partial^{\mu}$ para convertirse en la derivada covariante $D^{\mu}$ . Estas derivadas son solo representaciones específicas del operador $p^{\mu}$ y $P^{\mu}$ cuando están operando en funciones continuas.

nada es mero · Answer 3

Creo que las "conexiones en física" se refieren a un grupo de conceptos: transporte paralelo, derivada covariante, formas de conexión, geodésicas, símbolos de Christoffel, campos de calibre, que existen para resolver el mismo problema básico, que se puede establecer como sigue.

En física, nuestros modelos vienen en forma de ecuaciones diferenciales aplicadas a campos en variedades. Entonces queremos expresar cómo cambia un campo de un punto a otro en la variedad. El problema es que los espacios en los que viven los objetos son independientes de un punto a otro.

Tomemos el ejemplo de los vectores tangentes. Queremos saber cuánto cambia un campo vectorial tangente a medida que nos movemos de x a y. Esto significa que de alguna manera debemos comparar estos dos vectores. Pero el vector tangente en x vive en un espacio vectorial totalmente diferente al vector tangente en y. ¿Cómo se comparan vectores que ni siquiera viven en el mismo espacio vectorial? Simplemente no hay una forma integrada de comparar dos objetos que no viven en el mismo espacio.

Entonces, para comparar el vector en y con el vector en x (para ver cuánto cambió para nuestra ecuación de movimiento), necesitamos alguna forma de especificar qué vector en y cuenta como 'igual que' el vector en x. Una forma de 'conectar' los dos espacios, por así decirlo. Entonces podemos comparar este 'mismo' vector con el vector en y y decir que la diferencia entre ellos es el cambio que buscábamos.

Este es el concepto que subyace al transporte paralelo. Intuitivamente, parece que la forma en que podemos comparar un vector en x con un vector en y es simplemente deslizar el vector en x hacia y, manteniéndolo paralelo a sí mismo todo el tiempo. De esa manera sabemos que realmente estamos comparando el vector en y con el vector como estaba en x.

Sin embargo, nuestras intuiciones sobre el paralelismo son engañosas. (Piense en cómo funcionaría con vectores tangentes a una esfera). Así que terminamos definiendo el transporte paralelo como transporte en el que la derivada covariante del vector a lo largo de la ruta de transporte es cero. Pero la propia derivada covariante requiere una conexión, es decir, una especificación de qué vector en y cuenta como 'igual que' qué vector en x; de lo contrario, ¿cómo podría tomar la derivada para encontrar que es cero y, por lo tanto, transportó el vector en paralelo? ?

Entonces, ¿cómo pensar en la derivada covariante? Nuevamente, comience con el hecho de que los espacios vectoriales (esto se aplica a objetos más generales, solo estoy usando vectores para definición) en diferentes puntos de la variedad (por ejemplo, espacio-tiempo) son independientes entre sí. En particular, pueden coordinarse de manera diferente, es decir, pueden describirse utilizando diferentes conjuntos de bases. (Esto se llama 'cuadros móviles' en algunos contextos).

Nuevamente, esto plantea un problema cuando queremos saber si un campo vectorial ha cambiado a medida que nos movemos del punto x al punto y. Si vamos a tener libertad para elegir una base diferente para cada punto, eso significa que ahora tenemos dos razones por las que podemos detectar un cambio en los componentes de un vector desde el punto x hasta el punto y:

a) el vector puede haber cambiado a medida que nos movíamos de x a y, ya sea que la base haya cambiado o no

b) la base que estamos usando para describir el vector numéricamente puede haber cambiado de x a y, ya sea que el vector haya cambiado o no

Obviamente, solo estamos interesados en los cambios reales en el vector en sí. Los otros cambios son artefactos espurios de una elección de coordenadas que es arbitraria para los fines de la física. Por lo tanto, necesitamos construir en nuestras ecuaciones diferenciales una forma de 'sustraer' cualquier cambio en la base, de modo que cualquier cambio en los componentes que aparezcan en nuestra ecuación se asegure de que surja de un cambio genuino en el vector mismo.

Lo que hace el trabajo de esta 'resta' es un término de corrección que se agrega al operador derivado. Es este término de corrección al que nos referimos en física como 'el campo de medida'. En GR, estos son los símbolos de Christoffel. El campo de potencial EM también es un campo de calibre en este sentido.

Para ponerlo un poco más fino, los símbolos de Christoffel, por ejemplo, son los componentes de los cambios en los vectores base cuando nos movemos de un punto a otro. Tienen 3 índices: un índice rastrea qué componente representa ese símbolo, otro rastrea qué vector base está midiendo el cambio y un índice rastrea la dirección del vector base en la que se está moviendo. Entonces, el símbolo de Christoffel ijk-ésimo significa "la componente i-ésima del cambio en el vector base j-ésimo a medida que se mueve en la dirección del vector base k-ésimo".

Esas son las ideas básicas, aunque, por supuesto, hay más que decir acerca de la curvatura de la conexión y la intensidad del campo, etc. Pero el resto es solo una elaboración de esta idea esencialmente simple en términos de geometría diferencial de grupos de Lie y haces de fibras.

Para los futuros excursionistas en estos bosques, aquí hay algunas referencias que he encontrado útiles para comprender las conexiones y los campos de calibre:

Moriyasu, Introducción elemental a la teoría de calibre

Fecko, Geometría diferencial y grupos de mentiras para físicos

Baez, campos de indicadores, nudos y gravedad

Gron, Teoría de Einstein para los no entrenados matemáticamente (el capítulo sobre los símbolos de Christoffel)

Schuller, Videos de anatomía geométrica de la física teórica , apuntes de conferencias

Lam, Kai S. Principios fundamentales de la mecánica clásica , Teoría cuántica no relativista , Temas de física matemática contemporánea

Schwichtenberg, Física desde las finanzas

Cheng, Física de Einstein , Relatividad, Gravitación y Cosmología

Healey, evaluando lo que es real

Viallet, La configuración geométrica de los campos de calibre del tipo Yang-Mills

Fre, Gravity: un curso geométrico, vol. 1