¿Cuáles son los análogos de FμνFμνF_{\mu\nu} en la Relatividad General?

Advertencia: esta respuesta toma la perspectiva de la segunda tabla, en lugar de la primera, en una pregunta vinculada a @knzhou.

Necesitamos primero explicar lo que es análogo a$A_\mu$. Los símbolos de Christoffel son. Entonces podemos preguntar qué es análogo a$F_{\mu\nu}$; el tensor de Riemann es. Sospecho que la respuesta de otra persona proporcionará una razón de por qué difiere de lo que diré aquí, porque lo veré, quizás desafortunadamente, desde una perspectiva fuera de GR.

El electromagnetismo clásico y la relatividad general son teorías de calibre; el equivalente de este último de local$U(1)$transformaciones es transformaciones de coordenadas generales. En ambos casos, una simetría muy limitada que conserva las derivadas parciales de esos tensores que conserva se expande a algo para lo cual la noción conservada de una derivada es parcial más extra. Solo es necesario comparar la derivada covariante de calibre$\partial_\mu\phi+qA_\mu\phi$(o en una teoría de Yang-Mills no abeliana,$\partial_\mu\phi_a+qf_a^{\:bc}A_{\mu b}\phi_c$) con la conexión de Riemann (también conocida como "derivada covariante")$\partial_\mu V^\nu+\Gamma_{\mu\rho}^\nu V^\rho$para apreciar la analogía.

Denotaremos respectivamente los operadores lineales usados ​​arriba aquí como$D_\mu,\,\nabla_\mu$. Esto nos da conmutadores:$F_{\mu\nu}\propto[D_\mu,\,D_\nu]$, mientras$[\nabla_\mu,\,\nabla_\nu]V_\rho=R_{\mu\nu\rho\sigma}V^\sigma$. (Este último carece de una derivada del campo vectorial, porque GR tiene torsión cero).

En la analogía anterior, ¿qué es realmente análogo a$g_{\mu\nu}$es el campo escalar anterior$\phi$.

Esta respuesta dice aproximadamente lo mismo que la respuesta de @JG, pero está redactada de manera ligeramente diferente.

La analogía entre el tensor de Riemann$R$y el tensor de fuerza de campo electromagnético$F$no es tan evidente cuando los vestimos con índices$F_{\mu\nu}$y$R^\rho_{\,\,\mu\nu\sigma}$. Sin embargo, las cosas se vuelven más evidentes si miramos un poco más abstractamente.

• $F$puede pensarse como un$2$-forma en la variedad de espacio-tiempo, y satisface$dF=0$(la derivada exterior). O en componentes, para todos$a,b,c$,$\frac{\partial F_{bc}}{\partial x^a}+\frac{\partial F_{ca}}{\partial x^{b}}+\frac{\partial F_{ab}}{\partial x^{c}}=0$. Esta ecuación codifica$\nabla \cdot B=0$y$\nabla \times E=-\frac{\partial B}{\partial t}$

• De manera similar, en cualquier paquete vectorial con una conexión lineal$(E,\pi,M, \nabla)$, la curvatura$R$de la conexión es un$\text{End}(E)$-valorado$2$-formulario en$M$, es decir, es un morfismo de paquete vectorial suave$R:\bigwedge^2(TM)\to \text{End}(E)$. En términos generales, esto dice a cada punto$x\in M$, y cada par de vectores$h_x,k_x\in T_xM$, consideramos el plano/bivector$h_x\wedge k_x$, y para tal bivector, tenemos un endomorfismo$R(h_x\wedge k_x)\in \text{End}(E_x)$. Explico más la intuición en esta respuesta de MSE . Ahora bien, también se puede demostrar que$d_{\nabla}R=0$; es decir, la derivada covariante exterior de la curvatura desaparece. En componentes, esto dice$\nabla_a(R_{bc})+\nabla_b(R_{ca})+\nabla_c(R_{ab})=0$, que no es otra que la identidad diferencial de Bianchi. En el caso de que$E=TM$es el paquete tangente (un caso especial muy común), entonces la descripción de$R$como un$\text{End}(TM)$-valorado$2$-formulario en$M$es equivalente a decir que la curvatura es una$(1,3)$-campo tensor en$M$.

Por lo tanto$F,R$son moralmente hablando el mismo tipo de objeto (un$2$-forma, la única diferencia es que uno tiene un valor escalar, el otro tiene un valor de endomorfismo), y ambos satisfacen una forma de la identidad de Bianchi ($dF=0$contra$d_{\nabla}R=0$). Esta es también la razón por la que puede escuchar$F$denominándose curvatura.

Creo que vale la pena decir que, en cierto modo, no hay un gran análogo 1-1 aquí:

la acción de Maxwell es proporcional a$F^{ab}F_{ab}$, mientras que JG tiene razón en que, en muchos sentidos, el "analógico" a elegir para GR es$R_{abcd}$, la acción de Hilbert es proporcional a$g^{ab}R_{ab}$no$R^{ab}R_{ab}$. El acoplamiento a la materia ocurre a través de un$g^{ab}$término, también, y no un$\Gamma$término. La covarianza general solo hace que determinar los grados de libertad "reales" de GR sea mucho más complejo que para el electromagnetismo, y hay muchos términos de los que preocuparse.

Desde la perspectiva del paquete Principal Lie-group (G), la curvatura de 2 formas

$$\textbf{F}=\textbf{dA}+\frac{1}{2}[\textbf{A,A}]$$ correspondiente al grupo de Lie$G=SU(N)$es esencialmente el campo de Yang-Mills$F_{\mu\nu}$. Para$G=GL(n;C)$o$GL(n;R)$, las componentes de la curvatura de forma 2 son las componentes del tensor de Riemann$R_{\alpha\beta\gamma\delta}$.

El dof de propagación para el campo gravitacional está contenido en los componentes de curvatura de Weyl$C_{\alpha\beta\gamma\delta}$(parte sin rastro del tensor de Riemann) y, por lo tanto, desde el punto de vista de la física, el análogo para$F_{ab}$en GR se puede tomar como la curvatura de Weyl$C_{abcd}$. Hay ciertas similitudes entre el tensor de Maxwell y el$F_{ab}$y tensor de Weyl$C_{abcd}$:

Ambos$F_{ab}$y$C_{abcd}$son sin rastro que satisfacen las ecuaciones libres de fuente$\nabla ^aF_{ab}=0$(Maxwell) y$\nabla ^aC_{abcd}=0$(Einstein). En el lenguaje de la teoría de la representación, se puede descomponer$F_{ab}$como el$(1,0)\oplus (0,1)$representación irreductible de$su(2)_L\times su(2)_R$. Esto se puede expresar usando el espinor simétrico$\phi_{AB}$:

$$F_{ab} =F^{+}_{ab}+F^{-}_{ab} \leftrightarrow \phi_{AB}\epsilon_{A'B'}+\bar{\phi}_{A'B'}\epsilon_{AB}$$ De manera similar, se puede descomponer el tensor de Weyl como el$D(2,0)$y$D(0,2)$representación irreductible de$SL(2,C)$: $$C_{abcd}=C^{+}_{abcd}+C^{-}_{abcd}\leftrightarrow \Psi_{ABCD}\epsilon_{A'B'}\epsilon_{C'D'}+c.c.$$ dónde$\Psi_{ABCD}$(simétrico) es el espinor gravitatorio. Este tipo de descomposición no es posible para el tensor de Riemann. Uno puede continuar para definir el análogo de otras cantidades físicas tales como:

1. tensor de Bel-Robinson$T_{abcd}=\Psi_{ABCD}\bar{\Psi}_{A'B'C'D'}$como el análogo gravitatorio para el tensor de energía de estrés electromagnético libre:$T_{ab}=\frac{1}{2\pi}\phi_{AB}\bar{\phi}_{A'B'}$, satisfaciendo ambos la condición de Rainich y la "ley de conservación".

2. Partes eléctricas y magnéticas de$C_{abcd}$se puede definir con alguna unidad vectorial temporal$u^a$:$E_{ab}=C_{abcd}u^cu^d$(parte eléctrica) y$H_{ab}=\frac{1}{2}\eta_{ade}{C^{de}}_{bc}u^c$(parte magnética). Tenga en cuenta la similitud con los vectores eléctricos y magnéticos en la teoría de Maxwell:$E_a=F_{ab}u^b$,$H_a=\frac{1}{2}\eta_{abc}F^{bc}$.

Agregaré un punto de vista diferente utilizando el formalismo de tétrada. Como dijo @JG, los símbolos de Christoffel son aproximadamente los análogos de la conexión del indicador. De hecho, el formalismo de la tétrada tiene un análogo más preciso: la conexión de espín$\omega$. Esta conexión de espín es$\mathfrak{spin}(1,3)$valorado, al igual que una conexión de calibre se valora en algún grupo de calibre (por ejemplo, en QCD uno tiene un$\mathfrak{su}(3)$-conexión de calibre valorado). Entonces uno tiene la siguiente conexión:

$$\begin{equation} \omega \in \Omega^1_{\mathfrak{spin}(1,3)}(\mathcal{M}) \equiv\Gamma(\mathfrak{spin}(1,3))\otimes_{\Omega^0(\mathcal{M})}\Omega^1(\mathcal{M})\simeq \Gamma(\mathfrak{spin}(1,3)\otimes \wedge^1 T^\ast \mathcal{M}) \end{equation}$$ Dónde$\Omega^i(\mathcal{M})\equiv \Gamma(\wedge^i T^\ast \mathcal{M})$. La curvatura de la conexión de espín se define obviamente como: $$\begin{equation} \Omega^2_{\mathfrak{spin}(1,3)}(\mathcal{M}) \ni \Omega\equiv d_\omega\omega \stackrel{!}{=}d\omega+[\omega \stackrel{\wedge}{,} \omega]_{\mathfrak{spin}(1,3)} \end{equation}$$ Adición de una condición sin torsión$d_\omega e=0$, dónde$e$es la tétrada, se puede definir de forma única$\omega$en términos de$e$. Concretamente,$\Omega$definido por$e$no es más que el análogo del tensor de Riemann. Pero creo que está más claro por qué$\Omega$es análogo a$F$en el marco habitual de la teoría de calibre, utilizando el formalismo de tétrada. Uno tiene las siguientes analogías: $$\begin{equation} \begin{array}{ccc} \omega=\omega_\mu^{IJ}\sigma_{IJ}dx^\mu &\longleftrightarrow &A=A_\mu^a \tau^a dx^\mu \\ \Omega= \Omega_{\mu \nu}^{IJ}\sigma_{IJ}dx^\mu \wedge dx^\nu &\longleftrightarrow &F=F_{\mu \nu}^a \tau^a dx^\mu \wedge dx^\nu \end{array} \end{equation}$$ Para volver al formalismo habitual en GR, por lo general, la parte magnética y la parte eléctrica de la curvatura del espacio-tiempo se definen mediante el uso del tensor de Weyl, tal como dijo @KP99. Se puede pedir una teoría donde la analogía sea más fuerte: ¿se puede tener una densidad lagrangiana definida como la contracción del tensor de Weyl consigo mismo? La respuesta es Sí, es la gravedad conforme , pero no es estrictamente equivalente a la acción de Einstein-Hilbert.

En la teoría de calibre U(1), el campo magnético y el eléctrico son cantidades invariantes de calibre. Sin embargo, en la teoría de calibre no abeliana, sus análogos no son invariantes de calibre y, por lo tanto, no se pueden medir (excepto si el acoplamiento llega a cero). Las únicas cosas que existen son la tasa de sintonización, la carga topológica y el propio Lagrangiano.

Además, quiero agregar una perspectiva diferente:

En tres dimensiones, el EH-Lagrangiano con una constante cosmológica se puede expresar en términos de la forma SO(4) de Chern-Simons, por ejemplo. De la homología de Floer se deduce que los instantenes de Yang-Mills son las líneas de flujo de gradiente del funcional de acción de Chern-Simons en el espacio de módulos de la transformación de calibre de módulo de conexiones principales. Por así decir, son caminos de un movimiento similar a una partícula en el espacio de configuración y describen los caminos de túneles más probables entre CS vacua. Si vemos un espacio-tiempo dinámico vacío como una variedad foliada, entonces tiene propiedades similares a las de un instantón en la teoría de Yang-Mills en el cilindro de la variedad triple cruzado con la línea real. Interpola asintóticamente entre espacios tridimensionales planos de Ricci mediante la contracción y expansión. Esto se manifiesta matemáticamente cuando el espacio de tres es máximamente simétrico y curvado positivamente. En calibre temporal, la interpretación del campo magnético y eléctrico se vuelve obvia y más fácil: el campo magnético es entonces esencialmente una curvatura escalar positiva constante de la triple variedad, mientras que el campo eléctrico actúa como el vector de velocidad del camino que describe el instante. Visto así, el Lagrangiano YM es la curvatura escalar de la variedad tetradimensional foliada junto con el término límite GHY. Se desvanece para el instante en el caso de SO (4) similar a un instante gravitacional que podría caracterizarse por la desaparición de la curvatura 4-Ricci. Entonces, el campo magnético es esencialmente una curvatura escalar positiva constante de la triple variedad, mientras que el campo eléctrico actúa como el vector de velocidad del camino que describe el instanten. Visto así, el Lagrangiano YM es la curvatura escalar de la variedad tetradimensional foliada junto con el término límite GHY. Se desvanece para el instante en el caso de SO (4) similar a un instante gravitacional que podría caracterizarse por la desaparición de la curvatura 4-Ricci. Entonces, el campo magnético es esencialmente una curvatura escalar positiva constante de la triple variedad, mientras que el campo eléctrico actúa como el vector de velocidad del camino que describe el instanten. Visto así, el Lagrangiano YM es la curvatura escalar de la variedad tetradimensional foliada junto con el término límite GHY. Se desvanece para el instante en el caso de SO (4) similar a un instante gravitacional que podría caracterizarse por la desaparición de la curvatura 4-Ricci.