GR como teoría de calibre: hay una conexión de espín con valor de Lorentz, pero ¿qué pasa con una conexión con valor de traducción?

Dado un grupo de simetría interna, lo calibramos promoviendo la derivada exterior a su versión covariante:

D = d + A ,

dónde A = A a T a es un álgebra de Lie valorada en una forma conocida como la conexión (o campo de calibre) y T Los generadores de álgebra.

Para GR, nos gustaría hacer lo mismo con el grupo Poincaré. Pero el grupo de Poincaré no es simple, sino que se desdobla en traducciones PAG y transformaciones de Lorentz j . Por lo tanto, esperaría dos tipos de conexiones:

D = d + B a PAG a + A a b j a b .

Pero la derivada covariante de GR, como suele encontrarse en los libros de texto, es:

∇ m = ∂ m + 1 2 ( ω α β ) m j α β ,

dónde ω es la conexión de espín. Se define para cualquier objeto que tenga una transformación definida bajo j , es decir, bajo transformaciones de Lorentz, como espinores o tensores. Pero no menciona el generador de traducción. PAG . ¿Qué pasó? ¿No debería tener este campo de indicador adicional?

Respuestas (2)

Se puede hacer una conexión de Cartan valorada por Poincaré-Lie-Álgebra estableciendo

η = τ a mi ∗ a + 1 2 σ a b ω a b
dónde τ a y σ a b son los generadores de álgebra de Lie de traslación y transformaciones de Lorentz, y mi ∗ a = mi m a d X m , ω a b = ω a b m d X m son las formas co-marco y de conexión. Luego, algún uso del álgebra de Lie de Poincaré muestra que la curvatura se descompone como
F ≡ d η + η ∧ η = τ a T a + 1 2 σ a b R a b ,
dónde T a = d mi ∗ a + ω a b ∧ mi ∗ b es la torsión y R a b = d ω a b + ω a C ∧ ω C b la habitual curvatura de Riemann. Así, la torsión se ve como la parte de traslación de la curvatura.

La gente sigue elaborando algún tipo de teoría de calibre a partir de esto, pero no es una teoría convencional de calibre de haz de principios, y nunca he entendido cómo los campos físicos se convierten en secciones de un haz asociado. Una referencia estándar es Reviews of Modern Physics Vol 48, no 3 (1976) General Relativity with Spin and Torsion, Foundation and Prospects, de FW Hehl, P von de Heyde y GD Kerlick. Personalmente, encuentro impenetrable su notación, pero supongo que ese es mi defecto.

También encontré esta referencia sobre la medición de Poincaré, que me pareció interesante: arxiv.org/pdf/1502.06539
"No es una teoría convencional de calibre de haz de principios". Correcto, eso es seguro. Cuando digo GR como una teoría de calibre, simplemente quiero decir que la teoría se construye a partir de una conexión que hace que un grupo de simetría (anteriormente global) sea local. ¡Ciertamente no requiero que toda la maquinaria y las conclusiones de las teorías habituales de calibre de Yang-Mills sean heredadas sin ningún cambio o reinterpretación! De todos modos, todavía no entiendo completamente el papel de la tétrada. mi como el campo calibre de las traslaciones.

En 2+1 dimensiones, la relatividad general con acción de Einstein-Hilbert con o sin
constante cosmológica es equivalente a una teoría de calibre con un grupo de calibre uno de I S O ( 2 , 1 ) , S O ( 3 , 1 ) o S O ( 2 , 2 ) (dependiendo de la presencia de la constante cosmológica y su signo) y una acción pura de Chern-Simons .

El campo de calibre es una forma valorada en álgebra de Lie

A i = mi i a PAG a + ω i a j a ,
dónde PAG a son generadores de traducción y j a = 1 2 ϵ a b C j b C son generadores de transformaciones de Lorentz.

Una buena referencia para esto es un artículo:

  • Witten, E. (1988). 2 + 1 la gravedad dimensional como un sistema exactamente soluble . Física nuclear B, 311(1), 46-78, doi , pdf en línea .

Este documento también contiene el siguiente pasaje sobre el caso de cuatro dimensiones:

En los últimos veinte años, muchos físicos han querido combinar el vierbein mi i a y la conexión de espín ω i a b en un campo de calibre del grupo I S O ( d − 1 , 1 ) . La idea es que la conexión de espín sería el campo de calibre para las transformaciones de Lorentz, y el vierbein sería el campo de calibre para las traslaciones. Luego se intenta afirmar que “la relatividad general es una teoría de calibre de I S O ( d − 1 , 1 ) ”. Sin embargo, siempre ha habido algo artificial en los intentos de interpretar la relatividad general como una teoría de calibre en ese sentido estricto. Un aspecto del problema es que en cuatro dimensiones, por ejemplo, la acción de Einstein (2.2) tiene la forma general ∫ mi ∧ mi ∧ ( d ω + ω 2 ) . si interpretamos mi y ω como campos de calibre, deberíamos comparar esto con una acción de calibre ∫ A ∧ A ∧ ( d A + A 2 ) . Pero no existe tal acción en la teoría de gauge. Así que no podemos esperar que la gravedad de cuatro dimensiones sea una teoría de calibre en ese sentido.

En cuanto al pasaje de Witten; solo obtienes ∫ mi ∧ mi ∧ ( d ω + ω 2 ) son 4 dimensiones? Pensé que esto es solo el Lagrangiano de Einstein-Hilbert válido en cualquier dimensión, ¿no es así?
@Anon21: Ω = d ω + ω ∧ ω es una forma 2. En D dimensiones que necesitamos D -forma de integrar sobre la variedad por lo que el número de " mi ∧ ” partes en EH Lagrangiano es D − 2 .
GR como teoría de calibre: hay una conexión de espín con valor de Lorentz, pero ¿qué pasa con una conexión con valor de traducción?
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