mecánica no euclidiana; ¿Es útil?

Question

mecánica no euclidiana; ¿Es útil?

kryomaxim

La relatividad especial tiene el siguiente lagrangiano de una sola partícula:

S = \int_{t_{0}}^{t_{F}} \sqrt{⟨ d \vec{s}, d \vec{s} ⟩} .

$S = \int_{t_0}^{t_f}\sqrt {\langle \mathrm d\vec{s},\mathrm d\vec{s}\rangle}.$

Claramente se basa en normas euclidianas; está en la norma de la geometría de Minkowski o Riemann, pero ambas normas son solo una generalización de la norma euclidiana.

Ahora puedo formular otro Lagrangiano que se ve así:

S = \int_{t_{0}}^{t_{F}} (⟨ d \vec{s}, d \vec{s}, d \vec{s} ⟩)^{\frac{1}{3}} .

$S = \int_{t_0}^{t_f} ({\langle \mathrm d\vec{s},\mathrm d\vec{s},\mathrm d\vec{s}\rangle })^{\frac{1}{3}}\;.$

He generalizado el lagrangiano estándar de una partícula relativista a la 3-norma y he tratado de conceptualizar productos escalares generalizados para 3-normas.

¿Se han desarrollado ahora esas teorías de campo y pueden construirse tales teorías de campo? ¿Hay alguna evidencia para construir una teoría física basada en 3 normas?

una mente curiosa

¿Qué es una "norma 3"? El significado habitual de un "

p

$p$ -norma" es

| | x | |_{p} = {(\sum_{i} x_{i}^{p})}^{1 / p}

$\lvert\lvert x\rvert\rvert_p = \left(\sum_i x_i^p \right)^{1/p}$ . Cómo es

⟨ d s, d s, d s ⟩

$\langle ds,ds,ds\rangle$ definido? ¿Qué cosa física esperas que este modelo?

kryomaxim

Sí, una 3-norma es ap=3-norma. No sé exactamente cómo definir un producto escalar triple; pero es una forma trilineal.

una mente curiosa

¿Eres consciente de que todos

p

$p$ -¿Las normas sobre espacios normados de dimensión finita son equivalentes? ¿Y cómo crees que puedes definir esto en una variedad ?

Ruslán

@ACuriousMind, ¿realmente darán como resultado las mismas ecuaciones de movimiento cuando se usen como sugiere OP?

sam bombardeo

¿Por qué el voto negativo? Creo que esta es una pregunta bastante interesante, o al menos no trivial.

una mente curiosa

@Ruslan: Equivalencia de normas

| - |_{1}

$\lvert-\rvert_1$ y

| - |_{2}

$\lvert-\rvert_2$ significa que hay

c, d

$c,d$ tal que

c | v |_{1} \leq | v |_{2} \leq C | v |_{1}

$c \lvert v\rvert_1\leq\lvert v\rvert_2\leq C\lvert v\rvert_1$ . Entonces, extremizar a uno de ellos también extremizará al otro. Además, no está claro cómo agregar la naturaleza minkowskiana aquí: ¿simplemente escribe un signo menos delante de la primera entrada?

qmecanico

La pregunta del título (v2) ¿Es útil? parece principalmente basado en opiniones.

Respuestas (1)

mecánica no euclidiana; ¿Es útil?

¿Qué es una "norma 3"? El significado habitual de un " $p$ -norma" es $\lvert\lvert x\rvert\rvert_p = \left(\sum_i x_i^p \right)^{1/p}$ . Cómo es $\langle ds,ds,ds\rangle$ definido? ¿Qué cosa física esperas que este modelo?
Sí, una 3-norma es ap=3-norma. No sé exactamente cómo definir un producto escalar triple; pero es una forma trilineal.
¿Eres consciente de que todos $p$ -¿Las normas sobre espacios normados de dimensión finita son equivalentes? ¿Y cómo crees que puedes definir esto en una variedad ?
@ACuriousMind, ¿realmente darán como resultado las mismas ecuaciones de movimiento cuando se usen como sugiere OP?
¿Por qué el voto negativo? Creo que esta es una pregunta bastante interesante, o al menos no trivial.
@Ruslan: Equivalencia de normas $\lvert-\rvert_1$ y $\lvert-\rvert_2$ significa que hay $c,d$ tal que $c \lvert v\rvert_1\leq\lvert v\rvert_2\leq C\lvert v\rvert_1$ . Entonces, extremizar a uno de ellos también extremizará al otro. Además, no está claro cómo agregar la naturaleza minkowskiana aquí: ¿simplemente escribe un signo menos delante de la primera entrada?
La pregunta del título (v2) ¿Es útil? parece principalmente basado en opiniones.

qmecanico · Answer 1

La propuesta de OP (v2) es un caso especial de la geometría de Finsler con $n=3$ . La idea principal es reemplazar el tensor métrico cuadrático $g^{(2)}_{\mu_1\mu_2}$ para variedades pseudo-riemannianas , que define la distancia (infinitesimal, posiblemente imaginaria) en la variedad a través de

d s = \sqrt[2]{{gramo}_{m_{1} m_{2}}^{(2)} d X^{m_{1}} d X^{m_{2}}},

$ds ~=~ \sqrt[2]{g^{(2)}_{\mu_1\mu_2}dx^{\mu_1}dx^{\mu_2}},$

con (posiblemente una secuencia de) tensores métricos superiores $g^{(n)}_{\mu_1\ldots\mu_n}$ con una fórmula de distancia de Finsler

d s = \sum_{norte \in norte} \sqrt[norte]{{gramo}_{m_{1} \dots m_{norte}}^{(norte)} d X^{m_{1}} \dots d X^{m_{norte}}} .

$ds ~=~ \sum_{n\in\mathbb{N}} \sqrt[n]{ g^{(n)}_{\mu_1\ldots\mu_n} dx^{\mu_1}\ldots dx^{\mu_n}}.$

Ya existe una gran literatura sobre la geometría de Finsler y sus aplicaciones a la física.

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kryomaxim

una mente curiosa

kryomaxim

una mente curiosa

Ruslán

sam bombardeo

una mente curiosa

qmecanico

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qmecanico

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