Difeomorfismos, Isometrías Y Relatividad General

Question

Difeomorfismos, Isometrías Y Relatividad General

eduardo hughes

Disculpas si esta pregunta es demasiado ingenua, pero golpea el corazón de algo que me ha estado molestando por un tiempo.

Bajo un difeomorfismo $\phi$ podemos impulsar un campo tensor arbitrario $F$ a $\phi_{*}F$ . ¿Es correcta la siguiente afirmación?

Si $p$ es un punto de la variedad entonces $F$ a $p$ es igual a $\phi_* F$ a $\phi(p)$ , ya que están relacionados por la ley de transformación del tensor y los tensores son independientes de la elección de coordenadas. ()

Tengo la sensación de que me estoy perdiendo algo crucial aquí, porque esto parecería sugerir que los difeomorfismos eran isometrías en general (lo cual sé que es falso). (*)

Sin embargo, si la afirmación no es cierta, significa que los observables físicos como el tensor electromagnético $F^{\mu \nu}$ no sería invariante bajo difeomorfismos (lo cual debe ser porque los difeomorfismos son una simetría de calibre de nuestra teoría). De hecho, el momento adecuado $\tau$ ¡Ni siquiera será invariante a menos que tengamos una isometría!

¿Que me estoy perdiendo aqui? ¿Seguramente son las isometrías y no los difeomorfismos las simetrías de calibre? Muchas gracias de antemano.

Motl de Luboš

Los difeomorfismos generales no son isometrías; sólo el difeomorfismo bajo el cual los valores del tensor métrico son invariantes en cada punto son isometrías, por definición. Sin embargo, las reglas de transformación para los campos tensoriales están dadas por la misma fórmula universal que funciona más o menos igual ya sea que el difeomorfismo sea o no una isometría. La única diferencia entre isometría y no isometría es que un campo tensorial particular, el campo tensorial métrico, es o no invariante. En GR, todos los difeomorfismos (o aquellos que son triviales en el infinito) forman un grupo calibre (o su parte).

eduardo hughes

@LubošMotl - ¡Gracias por tu comentario! Ya entiendo la diferencia entre isometrías y difeomorfismos. Mi problema es que un difeomorfismo general no conserva la métrica, por lo que no necesariamente conservará el tiempo adecuado entre eventos. ¡Pero el tiempo propio es un observable que es independiente del marco! ¿Cómo diablos podemos decir que los difeomorfismos son una simetría de calibre si están cambiando una cantidad física?

sjasonw

El tiempo propio es independiente de las coordenadas. Si bien es cierto que cambiar las coordenadas cambia los componentes métricos, una integral de tiempo adecuada sobre una ruta similar al tiempo entre dos puntos del espacio-tiempo tendrá el mismo valor en ambos sistemas de coordenadas.

eduardo hughes

@sjasonw: No estoy hablando de una transformación de coordenadas, estoy hablando de un difeomorfismo. Un difeomorfismo realmente cambiará la métrica en sí, no solo sus componentes. Los componentes de la métrica no tienen ningún significado físico, porque tienes que elegir un sistema de coordenadas para poder hablar de ellos.

sjasonw

Lo siento por mi confusión. Por supuesto, las transformaciones de coordenadas son difeomorfismos locales de

R^{n}

$\bf{R}^n$ entonces mi comentario podría no ser inútil... Considere lo siguiente. Supongamos que tengo un camino temporal

γ

$\gamma$ entre puntos

a

$a$ y

b

$b$ . Entonces puedo usar el difeomorfismo

ϕ

$\phi$ para conseguir un nuevo camino

ϕ \circ γ

$\phi \circ \gamma$ . Yo pensaría que el tiempo propio de este nuevo camino evaluado con

ϕ_{⋆} g

$\phi_{\star}g$ sería el mismo que el tiempo propio original.

twistor59

"¿Cómo diablos podemos decir que los difeomorfismos son una simetría de calibre si están cambiando una cantidad física?" Son una simetría de calibre en el sentido de que conservan los observables de Dirac . Sin embargo, para el grupo Diff, estos observables son bastante restringidos, como integrales de varias contracciones de productos del tensor de Riemann consigo mismo.

eduardo hughes

@sjasonw: ¿pero lo que dices no es solo cierto para las isometrías?

eduardo hughes

@sjasonw: tal vez también sea cierto para las geodésicas, pero no para las curvas temporales generales. Esto parece sugerir que sí. Quizá el tiempo adecuado sea solo invariable para las geodésicas. ¿Es esto físicamente razonable?

sjasonw

@EdwardHughes En realidad, si

(M, g)

$(M,g)$ es un espacio-tiempo,

N

$N$ es una multiplicidad y

ϕ : M \to N

$\phi :M\rightarrow N$ es un difeomorfismo, entonces

ϕ

$\phi$ es una isometría entre

(M, g)

$(M,g)$ y

(N, ϕ_{⋆} g)

$(N,\phi_{\star}g)$ . Entonces, ¿quizás eso ayude? Además, no creo que sea razonable que pueda ser cierto solo para las geodésicas: las curvas temporales arbitrarias se construyen a partir de geodésicas infinitesimales.

eduardo hughes

@sjasonw No, no lo es

ϕ

$\phi$ sólo una isometría si

ϕ_{*} g = g

$\phi_*g = g$ ?

sjasonw

@EdwardHughes Lo que dijiste es correcto si estamos hablando de una isometría entre

(M, g)

$(M,g)$ y en sí mismo Estaba hablando de una isometría entre

(M, g)

$(M,g)$ y un espacio-tiempo diferente

(N, ϕ_{⋆} g)

$(N,\phi_{\star}g)$ (puedes tomar

M = N

$M=N$ si quieres).

eduardo hughes

@sjasonw Ah, claro, entonces no hay contradicción en mi publicación original, porque un difeomorfismo es naturalmente una isometría en el espacio con la métrica empujada hacia adelante. Si es así y desea escribir sus comentarios como respuesta, ¡estaré encantado de votar y aceptar! ¡Muchas gracias!

eduardo hughes

@sjasonw Para ser más específico, ¿tengo razón al concluir que la declaración ( ) es correcta pero la conclusión (* ) es defectuosa en mi OP? Creo que eso es lo que implica tu comentario :)

sjasonw

Bueno, creo que la declaración es la idea correcta, pero decir que un tensor en

p

$p$ es igual a uno en

ϕ (p)

$\phi (p)$ no es muy claro. Como sabe, los espacios tangentes en diferentes puntos no son naturalmente isomorfos, por lo que no tiene sentido "igual". Sin embargo, podemos usar lo que hablamos anteriormente: el difeomorfismo

ϕ

$\phi$ induce un isomorfismo entre

T_{p} M

$T_p M$ y

T_{ϕ (p)} M

$T_{\phi (p)} M$ . Entonces ciertamente podemos decir que

F (p)

$F(p)$ y

ϕ_{⋆} F (ϕ (p))

$\phi_{\star}F(\phi(p))$ son iguales". Supongo que pondré esto en una respuesta.

Respuestas (1)

Difeomorfismos, Isometrías Y Relatividad General

Los difeomorfismos generales no son isometrías; sólo el difeomorfismo bajo el cual los valores del tensor métrico son invariantes en cada punto son isometrías, por definición. Sin embargo, las reglas de transformación para los campos tensoriales están dadas por la misma fórmula universal que funciona más o menos igual ya sea que el difeomorfismo sea o no una isometría. La única diferencia entre isometría y no isometría es que un campo tensorial particular, el campo tensorial métrico, es o no invariante. En GR, todos los difeomorfismos (o aquellos que son triviales en el infinito) forman un grupo calibre (o su parte).
@LubošMotl - ¡Gracias por tu comentario! Ya entiendo la diferencia entre isometrías y difeomorfismos. Mi problema es que un difeomorfismo general no conserva la métrica, por lo que no necesariamente conservará el tiempo adecuado entre eventos. ¡Pero el tiempo propio es un observable que es independiente del marco! ¿Cómo diablos podemos decir que los difeomorfismos son una simetría de calibre si están cambiando una cantidad física?
El tiempo propio es independiente de las coordenadas. Si bien es cierto que cambiar las coordenadas cambia los componentes métricos, una integral de tiempo adecuada sobre una ruta similar al tiempo entre dos puntos del espacio-tiempo tendrá el mismo valor en ambos sistemas de coordenadas.
@sjasonw: No estoy hablando de una transformación de coordenadas, estoy hablando de un difeomorfismo. Un difeomorfismo realmente cambiará la métrica en sí, no solo sus componentes. Los componentes de la métrica no tienen ningún significado físico, porque tienes que elegir un sistema de coordenadas para poder hablar de ellos.
Lo siento por mi confusión. Por supuesto, las transformaciones de coordenadas son difeomorfismos locales de $\bf{R}^n$ entonces mi comentario podría no ser inútil... Considere lo siguiente. Supongamos que tengo un camino temporal $\gamma$ entre puntos $a$ y $b$ . Entonces puedo usar el difeomorfismo $\phi$ para conseguir un nuevo camino $\phi \circ \gamma$ . Yo pensaría que el tiempo propio de este nuevo camino evaluado con $\phi_{\star}g$ sería el mismo que el tiempo propio original.
"¿Cómo diablos podemos decir que los difeomorfismos son una simetría de calibre si están cambiando una cantidad física?" Son una simetría de calibre en el sentido de que conservan los observables de Dirac . Sin embargo, para el grupo Diff, estos observables son bastante restringidos, como integrales de varias contracciones de productos del tensor de Riemann consigo mismo.
@sjasonw: ¿pero lo que dices no es solo cierto para las isometrías?
@sjasonw: tal vez también sea cierto para las geodésicas, pero no para las curvas temporales generales. Esto parece sugerir que sí. Quizá el tiempo adecuado sea solo invariable para las geodésicas. ¿Es esto físicamente razonable?
@EdwardHughes En realidad, si $(M,g)$ es un espacio-tiempo, $N$ es una multiplicidad y $\phi :M\rightarrow N$ es un difeomorfismo, entonces $\phi$ es una isometría entre $(M,g)$ y $(N,\phi_{\star}g)$ . Entonces, ¿quizás eso ayude? Además, no creo que sea razonable que pueda ser cierto solo para las geodésicas: las curvas temporales arbitrarias se construyen a partir de geodésicas infinitesimales.
@sjasonw No, no lo es $\phi$ sólo una isometría si $\phi_*g = g$ ?
@EdwardHughes Lo que dijiste es correcto si estamos hablando de una isometría entre $(M,g)$ y en sí mismo Estaba hablando de una isometría entre $(M,g)$ y un espacio-tiempo diferente $(N,\phi_{\star}g)$ (puedes tomar $M=N$ si quieres).
@sjasonw Ah, claro, entonces no hay contradicción en mi publicación original, porque un difeomorfismo es naturalmente una isometría en el espacio con la métrica empujada hacia adelante. Si es así y desea escribir sus comentarios como respuesta, ¡estaré encantado de votar y aceptar! ¡Muchas gracias!
@sjasonw Para ser más específico, ¿tengo razón al concluir que la declaración ( ) es correcta pero la conclusión (* ) es defectuosa en mi OP? Creo que eso es lo que implica tu comentario :)
Bueno, creo que la declaración es la idea correcta, pero decir que un tensor en $p$ es igual a uno en $\phi (p)$ no es muy claro. Como sabe, los espacios tangentes en diferentes puntos no son naturalmente isomorfos, por lo que no tiene sentido "igual". Sin embargo, podemos usar lo que hablamos anteriormente: el difeomorfismo $\phi$ induce un isomorfismo entre $T_p M$ y $T_{\phi (p)} M$ . Entonces ciertamente podemos decir que $F(p)$ y $\phi_{\star}F(\phi(p))$ son iguales". Supongo que pondré esto en una respuesta.

sjasonw · Answer 1

Si p es un punto de la variedad, entonces F en p es igual a ϕ∗F en ϕ(p), ya que están relacionados por la ley de transformación del tensor y los tensores son independientes de la elección de coordenadas.

Esto es más o menos cierto. Inicialmente, no tiene sentido cuando uno dice que los tensores en diferentes espacios tangentes son iguales. Sin embargo, el difeomorfismo induce un isomorfismo entre $T_p M$ y $T_{\phi (p)} M$ (el isomorfismo no es más que el vector empujar hacia adelante). Los dos tensores son iguales con respecto a este isomorfismo.

Tengo la sensación de que me estoy perdiendo algo crucial aquí, porque esto parecería sugerir que los difeomorfismos eran isometrías en general...

Esto es realmente cierto en un sentido que es relevante. Si $(M,g)$ es un espacio-tiempo y $\phi \in \text{diff}(M)$ , entonces, si bien no hay razón para pensar que $\phi$ es una isometría entre $(M,g)$ y en sí mismo, $\phi$ es siempre una isometría entre $(M,g)$ y $(M,\phi_{\star}g)$ .

Este último punto evita su preocupación por el momento adecuado. Si $\gamma$ es un camino temporal normalizado entre dos eventos $a$ y $b$ , siempre podemos considerar $\phi \circ \gamma$ como un camino temporal en $(M,\phi_{\star}g)$ . Puedes comprobar que la nueva ruta está normalizada con respecto a la nueva métrica $\phi_{\star}g$ . Los dominios de los dos caminos son exactamente iguales, por lo que el tiempo adecuado entre $\phi(a)$ y $\phi(b)$ es el mismo que el tiempo propio del camino original.

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