Transformaciones infinitesimales para una partícula relativista

I) Imagen pasiva. el einbein$e$no es un invariante sino que se transforma como

$$e~=~e^{\prime} \frac{d\tau^{\prime}}{d\tau}\tag{1}$$

bajo una reparametrización del parámetro world-line (WL)

$$\tau\longrightarrow \tau^{\prime}=f(\tau).\tag{2}$$

En otras palabras,$\omega:= e \mathrm{d}\tau\in \Gamma(T^{\ast}I)$es una forma en la variedad WL unidimensional$I$. La posición de la partícula

$$x^{\mu}~=~x^{\prime \mu}\tag{3}$$

es invariante, mientras que la velocidad de la partícula se transforma como

$$\dot{x}^{\mu}~=~\dot{x}^{\prime \mu}\frac{d\tau^{\prime}}{d\tau}.\tag{4}$$

Estas reglas de transformación (1)-(4) se pueden ver de muchas maneras. Una forma es que la acción

$$S~=~\int \! \mathrm{d}\tau ~L , \qquad L~:=~\frac{\dot{x}^2}{2e}-\frac{e m^2}{2},\tag{5}$$

debe ser invariante bajo reparametrizaciones (2). Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

II) Imagen activa. Desde la perspectiva de la variedad WL unidimensional$I$, la transformación infinitesimal$\delta$puede, por ejemplo, codificarse a través de derivados de Lie ${\cal L}_Y$wrt. un campo vectorial

$$Y ~=~\eta \frac{d}{d\tau}~\in~ \Gamma(TI)\tag{6}$$

en la variedad WL unidimensional$I$. Las derivadas de Lie son

$${\cal L}_Y x^{\mu}~=~Y[x^{\mu}]~=~\eta \frac{dx^{\mu}}{d\tau},\tag{7}$$

$$({\cal L}_Ye)\mathrm{d}\tau~:=~{\cal L}_Y\omega ~=~\{\mathrm{d}, i_Y\}\omega~=~\mathrm{d}i_Y\omega$$ $$~=~\mathrm{d}(i_Y\omega)~=~\mathrm{d}(\eta e) ~=~\mathrm{d}\tau\frac{d}{d\tau}(\eta e),\tag{8}$$

y por lo tanto

$${\cal L}_Ye ~\stackrel{(8)}{=}~\frac{d}{d\tau}(\eta e).\tag{9}$$

Las fórmulas (6), (7) y (9) corresponden a la ec. (1.10) en la ref. 1

$$\tag{1.10} \tau\to \tilde{\tau}=\tau-\eta, \qquad \delta x^{\mu}~=~\eta\frac{d x^{\mu}}{d\tau}, \qquad \delta e ~=~\frac{d}{d\tau}(\eta e),$$ respectivamente.

III) Formulación clásica de BV. Mencionemos para completar que la transformación de calibre$\delta$puede codificarse como una transformación BRST, cf. por ejemplo, ref. 2 y esta publicación de Phys.SE. En términos generales, el parámetro de calibre uniforme de Grassmann$\eta$luego es reemplazado por un fantasma Grassmann-odd Faddeev-Popov (FP)$C$. (En realidad, el parámetro calibre$\eta$se reemplazará más precisamente con la combinación$e^{1-r}C$, donde$r\in\mathbb{R}$es un poder, para ser más generales, cf. ec. (16) a continuación.) Para minimizar las apariencias de derivadas temporales, en lugar de usar el Lagrangiano (5), se vuelve un poco más simple comenzar con el Lagrangiano hamiltoniano

$$L_H~:=~ p_{\mu} \dot{x}^{\mu} - H, \qquad H~:=~ eT, \qquad T~:=~\frac{1}{2}(p^2+m^2), \qquad p^2~:=~ g^{\mu\nu}(x)~p_{\mu} p_{\nu}, \tag{11}$$

cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE. Aquí usaremos el formalismo de Batalin-Vilkovisky (BV) , cf. Árbitro. 3. Los campos

$$\phi^{\alpha} ~=~ \{ x^{\mu};~p_{\mu};~ e;~C;~ \bar{C};~B\} \tag{12}$$

son posiciones$x^{\mu}$; momentos$p_{\mu}$; einbein$e$; fantasma FP$C$; FP antifantasma$\bar{C}$; y Lautrup-Nakanishi (LN) multiplicador de Lagrange$B$, respectivamente. Son tensores WL de órdenes contravariantes$0$;$0$;$-1$;$r$;$1$; y$1$, respectivamente. cada campo$\phi^{\alpha}$tiene un anticampo correspondiente$\phi^{\ast}_{\alpha}$de paridad opuesta de Grassmann. La acción BV correspondiente$^1$

$$S_{BV}~=~\int \! \mathrm{d}\tau ~L_{BV} ,$$ $$L_{BV}~=~L_H +\left(x^{\ast}_{\mu} \dot{x}^{\mu}+p_{\ast}^{\mu} \dot{p}_{\mu} +r C^{\ast}\dot{C} \right)e^{r-1}C +\underbrace{e^r C\dot{e}^{\ast}}_{\sim~e^{\ast}\frac{d}{d\tau}( e^r C)} + B \bar{C}^{\ast},\tag{13}$$

satisface la ecuación maestra clásica

$$(S_{BV},S_{BV})~=~0, \tag{14}$$

con antibracket $(\cdot,\cdot)$en forma de Darboux, es decir, los antibrackets fundamentales distintos de cero se leen

$$(\phi^{\alpha}(\tau),\phi^{\ast}_{\beta}(\tau^{\prime})) ~=~\delta^{\alpha}_{\beta}~\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}). \tag{15}$$

La transformación BRST nilpotente de Grassmann-odd${\bf s}~=~(S_{BV},\cdot)$lee

$${\bf s}x^{\mu}~=~e^{r-1} C \dot{x}^{\mu}, \qquad {\bf s}p_{\mu}~=~e^{r-1} C \dot{p}_{\mu}, \qquad {\bf s}e~=~ \frac{d}{d\tau}( e^r C),$$ $${\bf s}C~=~ re^{r-1} C\dot{C},\qquad {\bf s}\bar{C}~=~ - B,\qquad {\bf s}B ~=~0, \tag{16}$$

que debe compararse con la ec. (1.10). El fermión de fijación de calibre BV$\psi$se puede elegir en el formulario

$$\psi ~:=~\int \! \mathrm{d}\tau~\bar{C}\left(\frac{\xi}{2}B +\chi(e) +\epsilon \dot{e}\right), \tag{17}$$ donde $\xi,\epsilon\in\mathbb{R}$son parámetros de fijación de calibre. Es más, $\chi(e)=(e\!-\!e_0)\chi^{\prime}$es una condición de fijación de calibre (que supondremos es afín en $e$, de modo que la derivada $\chi^{\prime}$es constante). El lagrangiano de calibre fijo se convierte en

$$L_{\rm gf}~=~ \left. L_{BV} \right|_{\phi^{\ast}~=~\frac{\delta \psi}{\delta \phi}}~=~ L_H + \overbrace{\underbrace{\left(\chi^{\prime}\bar{C}-\epsilon\dot{\bar{C}}\right) \frac{d}{d\tau}(e^r C)}_{ \sim~ \bar{C} \left(\frac{\chi^{\prime}}{2}+\epsilon\frac{d}{d\tau}\right)\frac{d}{d\tau}(e^r C) + e^r C\left(\frac{\chi^{\prime}}{2}-\epsilon\frac{d}{d\tau}\right)\frac{d}{d\tau}\bar{C} }}^{\text{Faddeev-Popov term}} + \overbrace{B \left(\frac{\xi}{2}B +\chi(e) +\epsilon \dot{e}\right)}^{\text{gauge-fixing term}} , \tag{18}$$

donde el$\sim$símbolo significa igualdad hasta los términos derivados del tiempo total. Las magnitudes físicas no dependen de la elección del fermión fijador de calibre.$\psi$, siempre y cuando se cumplan ciertas condiciones de rango.

IV) Ecuación maestra cuántica. El extraño laplaciano

$$\Delta~=~(-1)^{|\alpha|}\int\! \mathrm{d}\tau~ \frac{\delta_L}{\delta\phi^{\alpha}(\tau)} \frac{\delta_L}{\delta\phi^{\ast}_{\alpha}(\tau)} ~=~(-1)^{|\alpha|}\iint\! \mathrm{d}\tau~\mathrm{d}\tau^{\prime}~ \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime})\frac{\delta_L}{\delta\phi^{\alpha}(\tau)} \frac{\delta_L}{\delta\phi^{\ast}_{\alpha}(\tau^{\prime})} \tag{19}$$

es un objeto singular, que en rigor necesita ser regularizado. Calculamos formalmente

$$\Delta S_{BV}~\stackrel{(13)+(19)}{=}~ 2(n\!-\!r)\iint\! \mathrm{d}\tau~\mathrm{d}\tau^{\prime}~ e(\tau)^{r-1}C(\tau)~ \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}) \frac{d}{d\tau}\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime})$$ $$+r \iint\! \mathrm{d}\tau~\mathrm{d}\tau^{\prime}~ e(\tau)^{r-1}\dot{C}(\tau)~\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime})^2~\neq~0, \tag{20}$$ donde $n$es la dimensión del espacio objetivo (TS). Esto muestra que la acción BV (13) no satisface la ecuación maestra cuántica; sólo la ecuación maestra clásica. Discutiremos las modificaciones apropiadas de la acción BV (13) en la Sección VII.

V) Formulación clásica de BFV. identificamos$p_e\approx\epsilon B$con el impulso canónico del einbein$e$, e identificamos el anticampo$e^{\ast}\equiv \bar{P}$con el impulso fantasma de FP. Introducir un soporte de Poisson ultralocal$\{\cdot,\cdot\}_{PB}$con los siguientes pares canónicos

$$\{x^{\mu}(\tau), p_{\nu}(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\delta^{\mu}_{\nu}~\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \qquad \{e(\tau)^rC(\tau), \bar{P}(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}),$$ $$\{e(\tau), B (\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\frac{1}{\epsilon}\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \qquad \{\bar{C}(\tau), P(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\frac{1}{\epsilon}\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}).\tag{21}$$

Tenga en cuenta la forma no Darboux

$$\{C(\tau), \bar{P}(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~e(\tau)^{-r}\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \qquad \{ B (\tau), C(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\frac{r}{\epsilon} \frac{C(\tau)}{e(\tau)} \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \tag{22}$$

para asegurar eso

$$\{e(\tau)^r C(\tau), B(\tau^{\prime})\}_{PB}~=~0. \tag{23}$$

La transformación BRST${\bf s}~=~\{\mathbb{Q},\cdot\}_{PB}$(que es independiente de la$\epsilon$-parámetro) lee

$${\bf s}x^{\mu}~=~e^r C g^{\mu\nu}(x)p_{\nu} ~\approx~ e^{r-1} C \dot{x}^{\mu}, \qquad {\bf s}p_{\mu} ~=~ -\frac{1}{2}e^r C \partial_{\mu}g^{\nu\lambda}(x)~p_{\nu}p_{\lambda} ~\approx~ e^{r-1} C \dot{p}_{\mu},$$ $${\bf s}e~=~P~\approx~ \frac{d}{d\tau}( e^r C) , \qquad {\bf s}C~=~r\frac{C}{e}P ~\approx~ re^{r-1} C\dot{C},\qquad {\bf s}\bar{C}~=~ - B,\qquad {\bf s} B ~=~0, \tag{24}$$

que debe compararse con la ec. (dieciséis). Aquí el$\approx$símbolo significa igualdad módulo eqs. de movimiento La transformación BRST (24) es generada por

$$\mathbb{Q}~:=~ \int \! \mathrm{d}\tau ~Q, \qquad \{\mathbb{Q}, \mathbb{Q}\}_{PB}~=~0,\tag{25}$$

donde

$$-Q~:=~T e^r C + \epsilon B P ~\approx~ T e^r C + \epsilon B \frac{d}{d\tau}( e^r C)\tag{26}$$

es la carga BRST. La acción BFV se convierte en

$$S_{BFV} ~=~ \int \! \mathrm{d}\tau~\left(\dot{x}^{\mu}p_{\mu}+e^r C\dot{\bar{P}} \right) -\left\{ \psi, \mathbb{Q} \right\}_{PB} ~=~ \int \! \mathrm{d}\tau ~L_{BFV} , \tag{27}$$

donde el fermión de fijación de calibre BFV$\psi$es

$$\psi ~:=~\int \! \mathrm{d}\tau \left(\bar{C} \left(\frac{\xi}{2}B +\chi(e) +\epsilon \dot{e}\right) -\bar{P}e\right),\tag{28}$$

y donde se lee el BFV Lagrangiano$^2$

$$L_{BFV}~=~\left(p_{\mu}\dot{x}^{\mu}+ e^r C\dot{\bar{P}} \right) + \epsilon\left( B \dot{e} + \bar{C} \dot{P}\right) + \left(-eT +\bar{C}\chi^{\prime} P +B \left(\frac{\xi}{2}B+\chi(e)\right) -\bar{P}P \right)$$ $$~\sim~ L_H+ \underbrace{\epsilon\left( B \dot{e} + \bar{C} \dot{P}\right)}_{\text{kinetic term}}+ \bar{P}\left( \frac{d}{d\tau}( e^r C)-P\right) + \underbrace{\bar{C} \chi^{\prime} P}_{\text{FP term}} + \underbrace{B \left(\frac{\xi}{2}B+\chi(e)\right)}_{\text{gauge-fixing term}} \tag{29} .$$

VI) Soporte de Dirac. Integramos los dos momentos de FP$P$y$\bar{P}$. Luego, el Lagrangiano BFV (29) se convierte en el Lagrangiano de calibre fijo (18) de la Sección III. Las dos restricciones de segunda clase correspondientes

$$\Theta~:=~ P - \frac{d}{d\tau}( e^r C)~\approx~0, \qquad \bar{\Theta}~:=~ \bar{P} - \chi^{\prime} \bar{C}+\epsilon\dot{\bar{C}}~\approx~0,\tag{30}$$

tiene un corchete de Poisson distinto de cero

$$\Delta(\tau,\tau^{\prime} ) ~:=~ \{\Theta(\tau), \bar{\Theta}(\tau^{\prime}) \}_{PB} ~=~ -\left(\frac{\chi^{\prime}}{\epsilon}+2\frac{d}{d\tau} \right) \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}),\tag{31}$$

con inversa

$$\Delta^{-1}(\tau,\tau^{\prime} ) ~=~ - \frac{1}{4} \exp\left[\frac{(\tau^{\prime}-\tau)\chi^{\prime}}{2\epsilon}\right] {\rm sgn}(\tau\!-\!\tau^{\prime}).\tag{32}$$

Por lo tanto, el soporte de Dirac se convierte en

$$\{e(\tau)^rC(\tau), \bar{C}(\tau^{\prime})\}_{DB} ~=~ \frac{1}{4\epsilon} \exp\left[\frac{(\tau^{\prime}-\tau)\chi^{\prime}}{2\epsilon}\right] {\rm sgn}(\tau\!-\!\tau^{\prime}).\tag{33}$$

Alternativamente, la estructura de Poisson (33) podría deducirse del término FP en el Lagrangiano de calibre fijo (18).

Tenga en cuenta la forma no Darboux

$$\{C(\tau), \bar{C}(\tau^{\prime})\}_{DB} ~=~\frac{e(\tau)^{-r}}{4\epsilon} \exp\left[\frac{(\tau^{\prime}-\tau)\chi^{\prime}}{2\epsilon}\right] {\rm sgn}(\tau\!-\!\tau^{\prime}) ,$$ $$\{ B (\tau), C(\tau^{\prime})\}_{DB} ~=~\frac{r}{\epsilon} \frac{C(\tau)}{e(\tau)} \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \tag{34}$$

para asegurar eso

$$\{e(\tau)^r C(\tau), B(\tau^{\prime})\}_{DB}~=~0.\tag{35}$$

VII) Formulación Quantum BV. ecuaciones (20), (22) y (34) sugieren que deberíamos poner$r=0$, así que hagámoslo de ahora en adelante. Inspirándonos en las transformaciones BFV-BRST (24), modificamos el BV Lagrangiano (13) en

$$\tilde{L}_{BV}~=~L_H +x^{\ast}_{\mu} g^{\mu\nu}(x)p_{\nu}C -\frac{1}{2}p_{\ast}^{\mu} \partial_{\mu}g^{\nu\lambda}(x)~p_{\nu}p_{\lambda} C +e^{\ast}\dot{C} + B \bar{C}^{\ast}. \tag{36}$$

Uno puede mostrar que la ecuación maestra cuántica ahora se cumple$^1$

$$(\tilde{S}_{BV}, \tilde{S}_{BV})~=~0~=~\Delta\tilde{S}_{BV}. \tag{37}$$

La modificación (36) no altera el Lagrangiano de calibre fijo (18) aparte de poner$r=0$.

Referencias:

1. David Tong, Conferencias sobre teoría de cuerdas, arXiv:0908.0333 .

2. J. Polchinski, Teoría de cuerdas, vol. 1, 1998; Sección 4.2.

3. M. Henneaux y C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, 1994; Capítulo 17.

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$^1$Ignoramos los términos de frontera. Efectivamente, esto significa que imponemos condiciones de contorno pertinentes y limitamos la simetría de calibre a la mayor parte.

$^2$Él$\epsilon$-la dependencia en la acción del BFV (27) proviene únicamente del fermión fijador de calibre (28). Él$\epsilon$-la dependencia se puede eliminar a través de la redefinición

$$\epsilon B~\longrightarrow~ B, \qquad \epsilon\bar{C}~\longrightarrow~ \bar{C}, \qquad \frac{\chi}{\epsilon} ~\longrightarrow~ \chi, \qquad \frac{\xi}{\epsilon^2} ~\longrightarrow~ \xi .\tag{38}$$

en el limite$\epsilon\to 0$, los infinitos a la derecha. de los corchetes de Poisson (21) debe interpretarse como cero, es decir, las variables canónicas correspondientes se desacoplan.