¿Qué es una teoría de calibre?

1. Una simetría de calibre es simplemente una transformación de simetría de la acción que depende de manera no trivial del espacio-tiempo. Puede preguntar por todas las teorías físicas si existen tales transformaciones. Para el caso de la mecánica de partículas de un número finito de grados de libertad (donde la simetría de norma solo depende del tiempo), se sabe que la existencia de una simetría de norma es equivalente a una restricción en la formulación hamiltoniana. Tales restricciones surgen de que la transformación de Legendre del Lagrangiano no es invertible, por lo tanto, la condición

   $$\det\left(\frac{\partial L(q,\dot{q})}{\partial\dot{q}\partial\dot{q}}\right) = 0,$$ con$L$el lagrangiano y$q,\dot{q}$las coordenadas generalizadas detectan la presencia de simetrías de norma. Una muy buena referencia para la visión hamiltoniana restringida de las teorías de calibre y su cuantificación mediante el procedimiento BRST es el libro de Henneaux y Teitelboim "Cuantización de sistemas de calibre" .

2. Cuando un físico habla de una "teoría de calibre", por lo general no se refiere al caso muy genérico de una "teoría con simetría de calibre" del punto 1 (pero a veces se refieren a esto, ¡preste atención al contexto!). A menudo se refieren a una teoría con un campo de calibre , como la teoría de Yang-Mills (ver también esta respuesta mía ) o la teoría de Chern-Simons . La "controversia" sobre si "GR es una teoría de calibre" se deriva del hecho de que el "campo de calibre" de GR son los símbolos de Christoffel, que se consideran campos no dinámicos derivados de la métrica a menos que esté utilizando el formalismo de Palatini .$\mathrm{U}(1)$.

3. Es un resultado bastante profundo de la teoría cuántica de campos que cada campo vectorial sin masa es un campo de calibre, para obtener una breve descripción general del razonamiento, consulte la última parte de esta respuesta mía . la restricción$\pi^0 \approx 0$para el momento canónico asociado a$A^0$no es una característica de la teoría de calibre, es simplemente una característica de todos los campos vectoriales, incluso un campo vectorial masivo "sufre" de esta restricción. Esta restricción, por supuesto, también genera formalmente cierta simetría de calibre en el sentido del punto 1, pero esta simetría se elimina fácilmente mediante la fijación de calibre. La restricción que hace que el electromagnetismo sea una "teoría de calibre" es la restricción secundaria en la que se incurre a partir de la condición de consistencia$\dot{\pi}^0 \approx 0$, cuyos rendimientos$\partial_i \pi^i \approx 0$, que es la ley de Gauss! ¹ Junto con la fijación de calibre para la primera transformación, la teoría medio fija de un campo vectorial sin masa tiene la familiar simetría de calibre residual$A^i \mapsto A^i + \partial^i \epsilon$para cualquier función$\epsilon$. Una vez más, si desea estudiar esto en detalle formal, le recomiendo el libro de Henneaux/Teitelboim, en el que el ejemplo de la teoría de Maxwell se encuentra en el capítulo 19.

4. Es "fácil" introducir artificialmente grados de libertad adicionales en un hamiltoniano que son redundantes, lo que lleva a que la teoría hamiltoniana se vea restringida y, por lo tanto, la acción desarrolle simetrías de calibre, consulte esta respuesta mía . También es "fácil" introducir campos de calibre en un lagrangiano simplemente declarando que todos los campos están descargados en cualquier grupo de calibre que desee y agregando el término de Yang-Mills correspondiente a la acción. Por supuesto, esto es completamente inútil, ya que estos campos no interactúan con nada y puedes omitirlos.

^{1 Tenga en cuenta que esto rompe una simetría percibida entre las ecuaciones de campo eléctrico y magnético: en el formalismo de acción con el vector potencial como variable dinámica, la ley de Gauss no es una ecuación de movimiento, ¡se cumple antes de resolver las ecuaciones de movimiento! Véase también esta respuesta mía .}