¿Bajo qué representación se transforman los símbolos de Christoffel?

En primer lugar, no se transforman en una "representación" real en el sentido de una representación lineal del grupo de transformaciones de coordenadas ya que su comportamiento bajo transformaciones de coordenadas$x\mapsto y(x)$se da como

$${\Gamma^\alpha}_{\beta\gamma} \overset{y(x)}\mapsto \frac{\partial x^\mu}{\partial y^\beta}\frac{\partial x^\nu}{\partial y^\gamma}{\Gamma^\sigma}_{\mu\nu}\frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\sigma}\frac{\partial^2 y^\sigma}{\partial x^\beta \partial x^\gamma}\tag{1}$$

Sin embargo, su transformación no es "aleatoria", ya que tienen esa forma de hacer que la derivada covariante se transforme como un tensor propio. Se transforman como un objeto en el haz de chorro del haz de marco del espacio-tiempo.$\mathcal{M}$. ¿Ahora, que significa esto?

Una transformación de coordenadas$y(x)$determina en cada punto$p\in\mathcal{M}$un mapa lineal invertible

$$y'_p : T_p\mathcal{M}\to T_p\mathcal{M}, \frac{\partial}{\partial x^\mu}\mapsto\frac{\partial x^\nu}{\partial y^\mu}\frac{\partial}{\partial x^\nu}$$ es decir $y'$es un difeomorfismo $T\mathcal{M}\to T\mathcal{M}$del paquete tangente que es compatible con la proyección sobre la base.

Al paquete tangente, está el paquete marco $F\mathcal{M}$de todas las bases ordenadas de$T_p\mathcal{M}$en cada punto "Base ordenada" significa que simplemente toma la$n$vectores base y escribirlos en un$n\times n$-matriz. Dado que es una base, esta matriz es invertible: el espacio que el paquete de marcos asocia a cada punto es el de$\mathrm{GL}(n)$, y por lo tanto es un$\mathrm{GL}(n)$- paquete principal .

Los "símbolos de Christoffel" ahora son solo los componentes de una conexión principal en ese paquete, donde los físicos conocen mejor una "forma de conexión" como un campo de calibre , que toma valores en$\mathfrak{gl}(n)$, es decir, la forma de Christoffel es una forma de 1$\Gamma : T\mathcal{M}\to\mathfrak{gl}(n)$. Sus transformaciones de calibre están dadas por$y_\text{gauge} : \mathcal{M}\to\mathrm{GL}(n), p \mapsto y'_p = \frac{\partial x^\nu}{\partial y^\mu}\rvert_p$para una transformación de coordenadas$y$, y como todo campo de calibre, se transforma como

$$y_\text{gauge} \Gamma y_\text{gauge}^{-1} + y_\text{gauge}\mathrm{d}y_\text{gauge}^{-1}$$ La expresión de coordenadas es $(1)$se vuelve a obtener de esto escribiendo $\Gamma = {\Gamma^\mu}_{\nu\sigma}{T^\nu}_\mu\mathrm{d}x^\sigma$para una base ${T^a}_b$del $n\times n$-matrices $\mathfrak{gl}(n)$.

Los símbolos de Christoffel no se transforman bajo ninguna representación. La razón de esto es que no se transforman linealmente, lo que los deja fuera del juego por completo. La ley de transformación es

$$\tilde \Gamma^{\mu}_{\nu\kappa} = {\partial \tilde x^\mu \over \partial x^\alpha} \left [ \Gamma^\alpha_{\beta \gamma}{\partial x^\beta \over \partial \tilde x^\nu}{\partial x^\gamma \over \partial \tilde x^\kappa} + {\partial ^2 x^\alpha \over \partial \tilde x^\nu \partial \tilde x^\kappa} \right ]$$

(para una prueba, consulte, por ejemplo, esta pregunta de math.se ). Como puede ver, es posible que$\tilde \Gamma^{\mu}_{\nu\kappa}$ser distinto de cero incluso si$\Gamma^{\mu}_{\nu\kappa}$se desvanece de forma idéntica, lo que es fatal para la linealidad.

La razón por la que esto es importante es que una representación es un mapeo del grupo de simetría$G$del espacio-tiempo en el grupo de transformaciones lineales en algún espacio vectorial dado$V$. Así: sin linealidad, sin representación.