Pregunta sobre conexiones en relatividad general y física de partículas.

Esto se debe a que se necesita una cantidad sustancial de matemáticas para llegar allí, como acaba de describir. Necesitan aprender sobre topología, estructuras uniformes, variedades, conexiones, paquetes, paquetes de marcos, paquetes principales, etc.

En cambio, toman el lenguaje físico tradicional de los componentes que tiene sus ventajas, aunque los matemáticos lo evitan.

Esto les permite llegar a la física rápidamente. También está santificado como el método utilizado por el mismo Einstein.

Sin duda, esto cambiará en el futuro, pero no en el corto plazo. Se trata de cambiar la pedagogía física para tener en cuenta toda la tecnología matemática que nos permite pensar la física de una manera más invariable. Esto llevará tiempo.

No estoy seguro de entender en qué sentido la tecnología de paquetes es irrelevante en GR. Campos vectoriales en una variedad suave$M$son secciones del haz tangente$TM$, que está asociado al paquete de marcos (generalmente curvos)$LM$; la conexión$\Gamma$y curvatura$\mathrm{Riem}$son (representaciones locales de) la conexión 1-forma$\omega$y su curvatura$\Omega$en$LM$.

En la típica introducción de bajo nivel a GR, la conexión surge porque nos gustaría definir la diferenciación de campos vectoriales de una manera que sea independiente de la base. Esto requiere la introducción de un campo auxiliar$\Gamma$con curvatura$\mathrm{Riem}:= \mathrm d\Gamma + \Gamma\wedge \Gamma$. Parece que se está preguntando por qué esta introducción de bajo nivel no requiere el lenguaje de los paquetes principales, pero en realidad hemos hecho todo el trabajo para construir una conexión de paquete principal y simplemente no la hemos formalizado de la manera más eficiente posible.

Después de todo, ciertamente no es necesario hablar sobre paquetes principales para hacer electromagnetismo (de lo contrario, los estudiantes universitarios caerían como moscas). Es cierto que el electromagnetismo se puede entender muy elegantemente a través de una teoría de Yang-Mills con grupo de estructura$\mathrm U(1)$, pero eso no significa que tenga que ser presentado en ese idioma.

Cuando uno comienza a hacer física de partículas, es más razonable esperar que haya encontrado estructuras similares en diferentes campos (por ejemplo, al comparar el electromagnetismo con GR, existe una correspondencia entre$\mathcal A \leftrightarrow \Gamma$y$\mathcal F \leftrightarrow \mathrm{Riem}$). Por lo tanto, es un momento razonable para formalizar la idea de la invariancia de calibre a través de paquetes principales, comprender las teorías anteriores (GR y EM) a través de esa lente y luego esperar las teorías de calibre más sofisticadas y abstractas contenidas en el modelo estándar (y extensiones). del mismo).

1. Las afirmaciones en la pregunta son muy extrañas: muchas personas hacen física de partículas sin siquiera mencionar la palabra "paquete". Es perfectamente común en física eludir la noción de un paquete para el campo de norma hablando sobre el comportamiento del campo de norma "en el infinito". Consulte, por ejemplo, esta pregunta para ver ejemplos de ese idioma. En términos prácticos , no es en absoluto el caso de que el lenguaje de los paquetes sea más "requerido" para la física de partículas que para la relatividad general. Tanto en GR como en no GR, puede simplemente definir un derivado covariante/conexión/transporte paralelo escribiendo$\nabla_\mu = \partial_\mu + \rho(A_\mu)$para$A$un campo de calibre con valores de álgebra de mentira y$\rho$la representación del campo de calibre en el campo que se está diferenciando. En el caso de GR, solo tiene los símbolos de Christoffel pensados ​​​​como un$\mathfrak{gl}(n)$-valorado 1-forma:$\Gamma_\mu\in\mathfrak{gl}(n)$con componentes de matriz$({\Gamma^\nu}_\sigma)_\mu$, actuando de forma natural sobre tensores en$n$dimensiones.

2. Sin embargo, hay un núcleo de verdad en la idea de que se necesitan "más matemáticas" para la conexión genérica asociada con una teoría de calibre que para la conexión de Levi-Civita en la relatividad general: en la relatividad general, la conexión vive directamente en el paquete tangente de la variedad, y el "paquete principal" asociado es solo el paquete de marco (ortogonal) de la variedad. Es decir, incluso cuando se usa el lenguaje de paquetes, no hay necesidad de generalizar al caso abstracto de paquetes principales y sus paquetes asociados y representaciones y demás; todo lo que necesita ya está allí "naturalmente" dado por la geometría diferencial estándar: los haces (co)tangentes, el haz marco y sus potencias tensoriales.

   En el lenguaje de las teorías de medida genéricas, lo especial de GR como teoría de una conexión en paquetes principales es que la teoría de medida aquí no es "abstracta", sino soldada en el paquete tangente de la variedad. Los grados de libertad sobre los que actúa la conexión no son "internos", totalmente disociados de cualquier cosa más intuitivamente geométrica, sino que son los mismos grados de libertad de los vectores geométricos ordinarios. Por lo tanto, no necesita desarrollar una teoría general de conexiones para formular la conexión Levi-Civita de GR; solo necesita comprender este caso especial de una completamente soldada.

Como ya se mencionó en algunas otras respuestas, se trata principalmente de una cuestión de elecciones pedagógicas. En el fondo, de hecho, uno está usando toda la maquinaria del haz de fibras para definir la conexión, pero en el contexto particular de la Relatividad General, uno puede tomar algunos atajos, incluso cuando se trata de textos que son matemáticamente cuidadosos y evitan trabajar en componentes. Para algunos ejemplos, la Relatividad General de Wald , por ejemplo, introduce la noción al introducir un "operador derivado" y luego procede a usar la métrica para señalar la conexión Levi-Civita; analiza brevemente esta elección pedagógica en una carta de recursos llamada Enseñanza general Relatividad (ver arXiv: gr-qc/0511073 ), p. 8. Si no recuerdo mal, Hawking & Ellis'La estructura a gran escala del espacio-tiempo adopta un enfoque similar.

En particular, permítanme resaltar un poco de Teaching General Relativity de Wald , p. 8, que creo que proporciona una respuesta directa a su pregunta:

En los tratamientos matemáticos, la noción de transporte paralelo suele introducirse en el contexto más general de una conexión en un haz de fibras. Las nociones generales de haces de fibras y conexiones tienen muchas aplicaciones importantes en matemáticas y física (en particular, para la descripción de teorías de calibre), pero normalmente requeriría una excursión matemática demasiado extensa para incluir una discusión general de estos temas en una descripción general. curso de relatividad, incluso a nivel de posgrado.

Aunque no existe una noción única de diferenciación de tensores en un contexto completamente general, cuando una métrica está presente, se selecciona una noción única de diferenciación al imponer el requisito adicional de que la derivada de la métrica debe ser cero. En geometría euclidiana (o en relatividad especial), esta noción de diferenciación de tensores corresponde a la diferenciación parcial de las componentes de los tensores en coordenadas cartesianas (o en coordenadas inerciales globales). Sin embargo, en geometrías no planas, esta noción de diferenciación, denominada derivada covariante, no corresponde a la diferenciación parcial de los componentes de los tensores en ningún sistema de coordenadas.

Como ejemplo de una referencia que tiene un enfoque diferente, eché un vistazo rápido y Gauge Fields, Knots, and Gravity de Baez & Muniain parece tener un enfoque un poco más cercano a la teoría de paquetes hasta donde pude ver (lo hago No conozco la referencia con mucho detalle, pero le di un vistazo rápido ya que analiza la teoría de calibre antes de discutir la gravedad y parece seguir ese enfoque).