Modelo de cosmología de campo escalar: ¿cuáles deberían ser algunos valores "realistas"?

Estoy considerando un modelo "clásico" de cosmología de campo escalar: un campo escalar real simple mínimamente acoplado a la gravedad, con un potencial de campo similar al de Higgs cuartico:

$$\begin{equation}\tag{1} \mathcal{V}(\phi) = \frac{\lambda}{4} (\phi^2 - v^2)^2, \end{equation}$$ dónde $v$es el campo de "vacío verdadero". Podemos derivar esta fórmula: $$\begin{equation}\tag{2} v = \pm \: \frac{m}{\sqrt{2 \lambda}}, \end{equation}$$ dónde $m$es la masa del campo escalar $\phi$, y $\lambda$es el autoacoplamiento del campo. toma nota de que $\phi \sim \mathrm{L}^{-1}$, $m \sim \mathrm{L}^{-1}$ y $\lambda$ es un número adimensional.

Ahora, las ecuaciones de Friedmann-Lemaître y la ecuación de campo escalar son las siguientes ($a(t) \sim \mathrm{L}$es el factor de escala cosmológico, y los puntos son los derivados del tiempo cosmológico habituales.$G \equiv \ell_P^2 \sim \mathrm{L}^2$):

$$\begin{gather}\tag{3} \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{k}{a^2} = \frac{8 \pi G}{3} \big( \frac{1}{2} \; \dot{\phi}^2 + \mathcal{V}(\phi) \Big), \\[12pt] \tag{4} \frac{\ddot{a}}{a} = -\: \frac{8 \pi G}{3} \Big( \dot{\phi}^2 - \mathcal{V}(\phi) \Big), \\[12pt] \tag{5} \ddot{\phi} + 3 \frac{\dot{a}}{a} \dot{\phi} + \mathcal{V}^{\prime} = 0. \end{gather}$$ Las condiciones iniciales que necesito usar son estas ( $t = 0$es el tiempo presente, es decir, nuestra época humana): $$\begin{align} a(0) &= a_0, & \dot{a}(0) &= H_0, \; \text{(Hubble's constant)} \\[12pt] \phi(0) &= \phi_0, \; \text{(any value)} & \dot{\phi}(0) &= \psi_0. \; \text{(any value)} \end{align}$$ Puedo resolver numéricamente estas ecuaciones (después de una transformación de escala para eliminar todas las unidades) y obtener una salida gráfica muy buena. Resuelvo las ecuaciones de segundo orden (4) y (5) utilizando las condiciones iniciales definidas anteriormente. La ecuación (3) solo se usa para encontrar el parámetro de curvatura $k$.

Entonces la pregunta es la siguiente. Tengo 4 parámetros como entrada a la simulación numérica:

1. la masa de campo$m$.
2. La constante de acoplamiento de campo$\lambda$.
3. El valor inicial del campo (en el momento actual):$\phi_0$.
4. La derivada inicial del campo (actualmente):$\psi_0$.

Utilizo una condición inicial de balanceo lento por simplicidad:$\psi_0 = 0$. Pero, ¿cuáles deberían ser los valores realistas "típicos" de los tres parámetros restantes?

Actualmente, para obtener mi buena salida gráfica, tuve que usar una entrada muy fantasiosa y extravagante:

1. $m \approx 10^{- 68} \text{kg}$(¡Guau!)
2. $\lambda \approx 10^{-121}$(¡guau!)
3. $\phi(0) \sim \frac{1}{\ell_P}$, es decir, longitud de Planck inversa (un campo muy grande, para compensar los pequeños valores anteriores).

---

EDITAR: Para resolver numéricamente las ecuaciones (4) y (5), necesitamos hacer una transformación de escala para eliminar todas las unidades. Yo uso estas nuevas variables:

$$\begin{align} \tau &= H_0 \, t, \text{(dimensionless time, in units of the Hubble's time)} \tag{6} \\[12pt] \Phi &= \sqrt{\frac{8 \pi G}{3}} \; \phi, \text{(dimensionless scalar field, in units of the Planck lenght since $G \equiv \ell_P^2$)} \tag{7} \\[12pt] \tilde{m} &= \frac{m}{H_0}, \text{(dimensionless mass)} \tag{8} \\[12pt] \tilde{\lambda} &= \frac{3 \lambda}{8 \pi G H_0^2}, \text{(dimensionless coupling)} \tag{9} \end{align}$$ Entonces, las ecuaciones (4) y (5) se convierten en estas (la prima es la derivada con respecto al tiempo adimensional $\tau$) : $$\begin{align} \frac{a^{\prime \prime}}{a} = - \Phi^{\prime \, 2} + \mathcal{V}(\Phi), \tag{10} \\[12pt] \Phi^{\prime \prime} + 3 \frac{a^{\prime}}{a} \Phi^{\prime} + \frac{d \mathcal{V}}{d\Phi} = 0. \tag{11} \end{align}$$ La entrada típica que utilicé para mi simulación numérica son $\tilde{m} \sim 1$, $\tilde{\lambda} \sim 1$y $\Phi_0 \sim 1$(Números ni demasiado pequeños ni demasiado grandes). A partir de la transformación de escala (6)-(9), esto da los valores fantasiosos citados anteriormente, para $m$, $\lambda$y $\phi_0$.