¿Qué son exactamente las secciones en las teorías de calibre?

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¿Qué son exactamente las secciones en las teorías de calibre?

nada es mero

Al tratar de comprender con precisión cómo la teoría del haz de fibras se relaciona con los modelos físicos, me encontré con esta cita:

Podemos pensar en los elementos del haz principal como marcos generalizados para el haz de fibras original. Esto significa que se corresponden con diferentes formas en que podemos convertir la dinámica intrínseca descrita de manera abstracta por una sección del haz de fibras en algo concreto que observamos.

Estos marcos generalizados a menudo se denominan "medidas". El grupo de estructura del paquete principal se denomina "grupo de calibre" y el automorfismo del paquete principal que fija la base se denomina "transformación de calibre".

En el caso de un haz vectorial, esto significa que, eligiendo un calibre, o un marco ortonormal para la fibra, obtenemos un conjunto de números: las coordenadas de la sección con respecto al marco.

Entonces, dígame si entiendo esto correctamente: aquí tenemos dos paquetes de fibras lógicamente distintos: el paquete principal y el paquete vectorial asociado. El paquete asociado es el "campo de materia" cuyas secciones representan las cantidades observables, por ejemplo, la fase, y el paquete principal es el paquete de "marcos generalizados" cuyas secciones representan las bases que usamos para describir numéricamente las secciones del paquete asociado.

¿Es esto correcto?

Lo siento si esto es vago. Estoy tratando de obtener un "manejo" intuitivo sobre cómo las matemáticas técnicas de los paquetes de fibras se asignan a lo que sé de la física.

parker

¿Podría proporcionar una fuente para esa cita?

Respuestas (1)

¿Qué son exactamente las secciones en las teorías de calibre?

criollo · Answer 1

El haz de fibras del Principio se puede considerar como una expansión del espacio-tiempo: dado un grupo de calibre $G$ y un director $G$ manojo $\pi: P \to M$ sobre el espacio-tiempo $M$ , obtenemos localmente $π^{- 1} (tu) ≅ tu \times GRAMO, tu \subset METRO$ $\pi^{-1}(U) \cong U \times G, \ U \subset M$ ya que un PFB es solo un paquete de fibra con fibra $G$ . En el caso de $U(1)$ , uno puede pensar en el PFB como una forma de realizar un seguimiento de la fase que tiene una partícula dada en un punto dado en el espacio-tiempo, más generalmente, uno puede pensar en él como una forma de codificar explícitamente las propiedades intrínsecas de una partícula ( hay otras ejemplos, pero omitámoslos por el momento).
Una representación $\rho: G \to V$ en un espacio vectorial $V$ debe considerarse como la ''regla de transformación'', es decir, cómo se transforma un campo bajo una transformación de norma. Los ejemplos incluyen rotaciones en el espacio de isopin (a pesar de que no son una teoría de calibre "real"), así como la bien conocida $U(1)$ transformación de calibre, vea también esta respuesta mía .
Dada una representación $\rho$ como arriba, uno puede formar el paquete vectorial asociado $mi = PAG \times_{ρ} V,$ $E = P \times_{\rho} V,$ que en el principio se utiliza el formalismo de paquetes en lugar del espacio vectorial $V$ . Más precisamente, tome cualquier campo (clásico), por ejemplo, el campo de dirac, que es una función suave $ψ : R^{1, 3} \to C^{4}$ $\psi:\mathbb{R}^{1,3} \to \mathbb{C}^4$ satisfaciendo la Ecuación de Dirac . En nuestro nuevo formalismo, los campos serían secciones suaves $Ψ : METRO \to mi .$ $\Psi: M \to E.$ Los campos de materia se considerarían entonces como aquellas secciones $\Psi$ y no como el paquete.
La elección de un calibre se consideraría más comúnmente como la elección de una sección local para $P$ . Se debe enfatizar la localidad ya que, en general, no es posible elegir secciones globales. Por medio de una sección local, "todo" se puede retrotraer a $U \subset M$ que luego da ecuaciones diferenciales invariantes de calibre (y, en general, "curvas"), por ejemplo, la ecuación de Dirac en el espacio-tiempo curvo . (Lo que, sin embargo, necesitaría la noción de una forma de conexión , que deberíamos ignorar por el momento) . Esto se haría concretamente de la siguiente manera: Dado un ''campo de materia''

$Ψ : METRO \to mi$ $\Psi:M \to E$ y una sección (local) $s : tu \to PAG$ $s: U \to P$ uno puede (localmente) escribir $Ψ (X) = [s (X), ψ^{'} (X)]$ $\Psi(x) = [s(x), \psi'(x)]$ (por la definición de $E$ ). Ahora, la sección $s$ define una familia de isomorfismos $([s(x)])_{x \in U}$ que, por un tiempo fijo $x_0 \in U$ , es dado por $[s (X_{0})] : V \to {mi}_{X_{0}}, v \mapsto [s (X_{0}), v]$ $\quad [s(x_0)]:V \to E_{x_0}, \quad v \mapsto [s(x_0),v]$ donde denoté la fibra de $E$ encima $x_0$ por $E_{x_0}$ . Usando esta familia de isomorfismos, obtenemos una función $ψ^{'} : tu \to V, X \mapsto ψ^{'} (X)$ $\psi': U \to V, \ x \mapsto \psi'(x)$ que luego se puede utilizar para los cálculos.

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parker

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criollo

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