¿Qué se sabe sobre el átomo de hidrógeno en ddd dimensiones espaciales?

En arXiv:1205.3740 se proporciona una buena descripción general del problema . Voy a resumir los puntos más importantes aquí.

Dejar$d$sea ​​el número de dimensiones del espacio. Entonces el operador de Laplace viene dado por

$$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{d-1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\Delta_S\tag{1}$$ dónde $\Delta_S$es el operador de Laplace en el $d-1$esfera.

El potencial de Coulomb viene dado por la solución de

$$-\Delta V=e\delta(\boldsymbol r)\tag{2}$$ que se resuelve por $$V(r)=\frac{2(d/2-1)!}{(d-2)\pi^{(d-2)/2}}\frac{e}{r^{d-2}}\tag{3}$$

Una forma de mostrar la expresión anterior es considerar la Ley de Gauss en$d$dimensiones, es decir,$E(r)=e/\int_r\mathrm ds$donde el área de la$d-1$esfera se puede encontrar aquí .

Con esto, la ecuación de Schrödinger se lee

$$\left[\frac{1}{2m}(-\Delta)+V(r)-E\right]\psi(\boldsymbol r)=0\tag{4}$$

El problema tiene simetría esférica por lo que, como siempre, podemos escribir

$$\psi(r,\boldsymbol \theta)=\frac{1}{r^{(d-1)/2}}u(r)Y_\ell(\boldsymbol\theta)\tag{5}$$ dónde $\boldsymbol \theta=(\theta,\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{d-2})$y el poder $(d-1)/2$de $r$se elige para eliminar el término lineal en $(1)$. Los armónicos superesféricos ( $\sim$ Los polinomios de Gegenbauer ) son la generalización de los armónicos esféricos usuales a $d$dimensiones: $$\Delta_S Y_\ell+\ell(\ell+d-2)Y_\ell=0\tag{6}$$

Usando este formulario para$\psi$, la ecuación de Schrödinger se convierte en

$$u''(r)+2m[E-V_\ell(r)]u(r)=0\tag{7}$$ donde está el potencial efectivo $$V_\ell=V(r)+\frac{1}{2m}\frac{\ell_d(\ell_d+1)}{r^2}\tag{8}$$ con $\ell_d=\ell+(d-3)/2$.

Ahora bien, este problema de valores propios no tiene solución analítica conocida, por lo que debemos recurrir a métodos numéricos. Puede encontrar los valores numéricos de las energías en el artículo arxiv. Un punto importante que se aborda en ese artículo es que no hay valores propios negativos para$d\ge 4$, es decir, no hay estados ligados en más de tres dimensiones. Pero para$d\ge 5$hay órbitas estables , con energía positiva, con funciones de onda bien comportadas.

Para responder a algunas de sus preguntas:

• En general necesitas$d$números cuánticos para$d$dimensiones, módulo degeneraciones. En el caso del átomo de hidrógeno en 3D, están la simetría esférica y la simetría accidental$^1$, por lo que solo necesita un número cuántico. En$d$dimensiones la simetría esférica permanece, pero creo que la accidental no, lo que significaría que necesitas$d-1$números cuánticos para$d\neq 3$. Habría que comprobar si el vector de Runge-Lenz se conserva en$d$dimensiones o no (queda como ejercicio). Si este vector se conserva realmente, entonces las energías dependerían de$d-2$números cuánticos.

• Como no existe una solución analítica para la ecuación radial de Schrödinger, no lo sabemos. En el caso de$d=3$dimensiones, la regla de cuantización de Bohr-Sommerfeld resulta ser exacta. Podríamos comprobar lo que predice este esquema para$E_n$(aunque no podríamos saber si sería exacto o no: debemos comparar con los resultados numéricos).

• Estos son bien conocidos por los matemáticos. Puedes leer sobre ellos en el artículo de wikipedia .

• En forma cerrada, no. No conozco una fórmula asintótica, pero debería ser bastante fácil de derivar de la ecuación radial de Schrödinger, donde el término centrífugo$r^{-2}$domina por$r\to\infty$, por lo que podemos despreciar el término de Coulomb.

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$^1$En los sistemas simétricos esféricos, el potencial no depende de$\theta$ni$\phi$. En estos sistemas las energías no dependen de$m$, el número cuántico azimutal . Por lo tanto, en general para los potenciales radiales las energías dependen de dos números cuánticos,$n,\ell$. En el caso concreto de$V=1/r$, hay otra simetría que es un poco inesperada (o al menos no es muy intuitiva geométricamente). Cuando$V=1/r$la simetría rotacional$SO(3)$se agranda en un$SO(4)$simetría, y esta nueva simetría se conoce como simetría accidental . Esta simetría hace que los niveles de energía sean independientes de$\ell$, eso es,$E=E_n$. Nótese que esta simetría no está presente en el resto de la tabla atómica, es decir, los átomos multielectrónicos, lo que hace que los niveles de energía dependan del momento angular (y por tanto, de las reglas de Hund ).

Uno puede ilustrar lo anterior como

$$\begin{aligned} \text{If $V=V(r,\theta,\phi)$} &\longrightarrow E=E_{n\ell m}\\ \text{If $V=V(r)$}&\longrightarrow E=E_{n\ell}\\ \text{If $V=1/r$}&\longrightarrow E=E_{n} \end{aligned}$$ La primera línea es el resultado general para sistemas 3D; la segunda línea es el resultado de la simetría esférica; y la tercera línea es el resultado de la simetría accidental. Si desea leer más sobre esta simetría, encontrará algunas buenas referencias en ¿Por qué los niveles de energía del hidrógeno degeneran en$\ell$y$m$? y/o aquí .