¿Cuál es la cantidad conservada de un universo de escala invariante?

La simetría sobre la que pregunta generalmente se denomina transformación de escala o dilatación y, junto con las transformaciones de Poincare y las transformaciones conformes, forma parte del grupo de isometrías conformes del espacio de Minkowski. En una gran clase de teorías, se puede construir un tensor de energía-momento "mejorado"$\theta^{\mu \nu}$tal que la corriente de Noether correspondiente a las transformaciones de escala viene dada por$s^\mu=x_\nu \theta^{\mu \nu}$. La integral espacial de la componente temporal de$s^\mu$es la carga conservada. Claramente$\partial_\mu s^\mu = \theta^\mu_\mu$por lo que la conservación de$s^\mu$es equivalente a la desaparición de la traza del tensor energía-momento. Cabe señalar que la mayoría de las teorías cuánticas de campos no son invariantes bajo transformaciones conformes y de escala. Las que sí lo son se denominan teorías de campos conformes y se han estudiado con gran detalle en relación con las transiciones de fase (donde la teoría se vuelve invariante de escala en el punto de transición), la teoría de cuerdas (la teoría bidimensional en la hoja del mundo de cuerdas es una CFT) y algunas partes de las matemáticas (el estudio de Vertex Operator Algebras es el estudio de un tipo particular de CFT).

gracias por la buena pregunta. Se relaciona directamente con los temas de las teorías de campos conformes . Encontré un hilo muy bueno en otro foro donde supongo que tu pregunta ha sido respondida.
Sin embargo, intentaré resumir los puntos principales aquí y tal vez agregar algunos puntos.

Simetrías en Relatividad General

En relatividad general, las simetrías corresponden a una isometría de la métrica $g=g_{ab}dx^a dx^b$, decir$\varphi^\star g = g$. Eso significa que, si te mueves por el camino de tal simetría, no cambia. Esto se puede expresar en términos de la derivada de Lie .

donde el paréntesis representa la simetrización sobre índices y$v = \dot\varphi(t)$es el campo vectorial asociado a$\varphi$. Uno puede encontrar muy buenos cálculos introductorios para esto en Robert M. Wald: General Relativity y Introducción a la relatividad especial y general de Hans Stephani .

Si$n$es una unidad geodésica, mayor integración de

conduce a cantidades conservadas ya que

Ejemplos famosos son la masa$M$(o energía) para un espacio-tiempo estacionario o momento angular$J$para la simetría axial (sí, uno puede asignar un momento angular a un espacio-tiempo, lo encontré desconcertante en primer lugar),

isometrías conformes

Ahora, la situación es un poco diferente. Un vector de matanza conforme $c$ahora da lugar a una simetría de la forma

En tu caso, obligas$\omega = 1$pero esto no es de gran importancia como verás a continuación.

¿Qué sucede con la "ecuación de conservación"? Tenemos

que es solo cero si$n^a n_a = 0$, una geodésica nula. Entonces, solo para una clase muy especial de movimientos, aquí las partículas de luz, uno encontrará una simetría. Pero esto era de esperar ya que las transformaciones conformes no cambiarán los ángulos, por lo que el movimiento de la luz no se verá afectado.

No creo que esta sea una cantidad conservada en el sentido de Emmy Noether.

Sinceramente

Roberto

PD.: Pido disculpas por cualquier inconveniente relacionado con la notación. Espero que todo quede claro por el contexto.

Por supuesto, Jeff Harvey le ha proporcionado la respuesta perfecta y estandarizada: la invariancia de la escala se reduce a la falta de rastro del tensor de tensión-energía. Pero la falta de rastro no es realmente una "cantidad conservada" en el sentido habitual que puede haber esperado.

Sin embargo, se puede transformar el problema en algo que sea una cantidad conservada en el sentido habitual.

En particular, puede tomar su universo de escala invariable e insertar un objeto similar a un punto en un punto elegido que llamaré el origen. En la teoría cuántica de campos, esto se logra actuando sobre el estado de vacío con un operador local en el origen.

Las transformaciones que prueban la invariancia de escala son solo expansiones radiales que mantienen intacto el origen. Las leyes de la física son invariantes bajo estas transformaciones, por supuesto, y esta simetría es equivalente a la conservación de la dimensión del operador del párrafo anterior. Pero su conservación no respecto a la evolución normal en el tiempo sino evolución en el "tiempo radial",$\ln(r)$. En consecuencia, las dimensiones de todos los operadores están bien definidas en las teorías de escala invariante. En las teorías de escala no invariante, dependerían de la escala de renormalización.

Agregué este ejercicio verbal para enfatizar que las transformaciones de escala en una teoría de escala invariante son análogas, y en un sentido matemático muy bien definido, equivalentes a las traslaciones ordinarias en el tiempo. Para ser un poco específico, piense en las teorías euclidianas bidimensionales. la coordenada compleja$z$puede escribirse como$\exp(a+ib)$. Aquí,$b$es una variable angular periódica con periodicidad$2\pi$. Sin embargo,$a$es real y va de$-\infty$a$+\infty$.

Las transformaciones de escala no son más que las traslaciones ordinarias en$a$que están vinculados a un hamiltoniano. Por ejemplo, expandes$z$ $e$-tiempos por desplazamiento$a$por uno. Y, de hecho, la invariancia de escala en 2 dimensiones implica la invariancia conforme completa, en todas las transformaciones que conservan los ángulos, por lo que en lugar de mirar el$z=x+iy$avión, también puede mirar el$a+ib$plano donde la transformación de escala original parece una traslación ordinaria en el$a$dirección. Por simetría conforme, la forma de la acción en el$z$y$a+ib$las coordenadas son identicas

En dimensiones superiores, no es del todo cierto que la invariancia de escala (y Lorentz/simetría rotacional) implique la simetría conforme completa, pero en los casos importantes, es cierto de todos modos.

Mis mejores deseos Lubos

Es un resultado estándar en la teoría de los fractales que cualquier conjunto de mapeos de contracción que no se superpongan "demasiado" tendrá un atractor único y, además, en principio, estos atractores tienen alguna dimensión de Hausdorff; Creo que esta es la cantidad invariante que estás buscando. Véase, por ejemplo , Shakarchi y Stein , Volumen 3, Capítulo 7, Teorema 2.9.

Respuesta corta estricta a la pregunta: el número de partículas es invariable (en general).
Se sabe que SM no conserva la energía, es decir, Noether solo es válido mientras la relación materia/espacio sea constante.
De las respuestas anteriores, vemos que no conoce ninguna teoría invariante de escala que respalde las leyes físicas.
La pregunta principal es: ¿Cómo demostrar que las leyes físicas se cumplen en un modelo de escala invariante? Muchos físicos lo intentaron y fracasaron (Dirac, Canuto Hoyle y Narlikar, Maeder y Bouvier, Wesson).
Presentaré un resumen de ' Un modelo autosimilar del Universo revela la naturaleza de la energía oscura ' de Alfredo G. Oliveira, presentado a PRX el 1 de julio de 2011. (¡Dios mío, mi nombre está en el periódico!)
Si adjuntamos un referencial a una partícula, digamos un átomo, arriba representado en gris, no podemos encontrar ninguna evolución. Es nuestra situación actual; miramos a nuestro alrededor en los laboratorios y estamos naturalmente ciegos a cualquier evolución.
La pregunta menciona solo una modificación de la longitud, la respuesta de Lubo también menciona un tiempo variable, pero ese procedimiento es corto de lo que se necesita para tener un modelo autosimilar correcto. Tiene que hacerse de una manera 'física':
Reduzcamos un átomo (el átomo es nuestra referencia para Masa, Longitud, Tiempo) del Pasado en uno del Presente. Como se ve desde una referencia invariante externa 'S' (espacio), la unidad de longitud cambió, y también cambió la unidad de masa y también la unidad de tiempo porque la velocidad de la luz es la constante c: es una propiedad del campo/espacio.
Es evidente que un observador atómico (acotado a su referencia atómica) ve una expansión espacial. El desplazamiento hacia el rojo cosmológico de la luz de las galaxias (lejanas en el tiempo y la distancia) rastrea el hecho de que los procesos atómicos eran más lentos en el pasado en comparación con los del presente.
Ser$M(t_S)=Q(t_S)=L(t_S)=T(t_S)=\alpha(t_S)$la relación que describe la evolución de las unidades a través del tiempo, tal como la ve S en relación con las unidades del observador atómico ($\alpha(t_S)$es la ley de escala).
Se deduce en el documento, usando solo las leyes de la física, sin hacer hipótesis y partiendo solo de datos medidos, que la ley de escala es$\alpha(t_S) = e^{-H_0\cdot t_S}$.
Citar el resumen y las conclusiones

Henry Poincaré analizó cómo adquirimos información, enfatizando la naturaleza relativa de nuestros datos y que nuestra elección de unidades sirve a la conveniencia de obtener la forma más simple de las leyes físicas;
Einstein analizó cómo calibramos los marcos de referencia, cómo atribuimos coordenadas a las ocurrencias, qué tipo de unidades de tiempo y longitud usamos;
aquí, la reflexión sobre este tema se extiende a las propiedades de las unidades, lo que nos permitió comprender que la invariancia de las partículas en las unidades estándar es una propiedad de estas unidades y no de las partículas; también quedó claro cómo la expansión del espacio puede trazar un fenómeno de autosemejanza y se encontró una propiedad importante pero previamente desapercibida de las unidades de las constantes de campo, que es capaz de soportar la dilatación del espacio observada. A partir de dos resultados observacionales aceptados, la invariancia de constantes y la expansión espacial escalar, y considerando que la expansión espacial observada es consecuencia de un fenómeno de autosemejanza, se deduce un modelo que verifica tanto las pruebas cósmicas clásicas como la$\Lambda$Modelo CDM a pesar de tener un solo parámetro, el parámetro de Hubble. Este modelo tiene características sorprendentes, a saber:
(1) No hay conflicto teórico con las leyes físicas fundamentales excepto por un nuevo término en una ley de conservación, que está más allá de las posibilidades actuales de medición directa.
(2) Los sistemas estándar de unidades pierden su papel privilegiado, siendo válidas las leyes físicas también en un sistema de unidades espacial, comóvil.
(3) En unidades estándar, este modelo admite la misma descripción del universo del$\Lambda$modelo MDL. A pesar de que este modelo de escala no es un modelo cosmológico, brinda algunas contribuciones a la cosmología, a saber:
(1) El espacio es más antiguo que la materia.
(2) La materia, el campo y la radiación se evaporan en unidades espaciales.
(3) Surge una explicación simple para la falta de tendencia al colapso gravitatorio.
(4) Se aclaran los roles de la energía oscura y de la inflación cosmológica.
Este documento es solo el primero de un conjunto de tres; el segundo artículo analiza las consecuencias de este modelo a escala del sistema solar y el tercero analiza la estructura a gran escala del universo.
Hasta ahora, el conocimiento del universo se establecía en unidades donde las propiedades atómicas son invariantes; estas unidades son muy convenientes para describir sistemas de cuerpos pero, cuando se usan para describir propiedades espaciales, el resultado es desconcertante. Haber superado esta limitación es un gran logro de este trabajo.

Por supuesto, uno puede argumentar '¡No creo que les pueda pasar a los átomos!' y voy a contraargumentar '¿Cómo puede expandirse el espacio?'.
El documento está disponible aquí (el arxiv está cerrado para mi amigo Alfredo, probablemente ni siquiera Perelman pueda usar arxiv). Conozco este modelo desde 1991, y una versión preliminar se encuentra en el arxiv de 2002; en ese entonces, el público no estaba preparado para leer este modelo y espero que hayamos evolucionado hacia una posición más madura.