¿Qué sucede con la simetría global U(1)U(1)U(1) en formulaciones alternativas de la Mecánica Cuántica?

Esta será solo una respuesta parcial, espero que esté bien.

En la mecánica cuántica de Schrödinger se suele trabajar con vectores complejos$\Psi$que se normalizan como$\|\Psi\| = 1$. Esto todavía deja la libertad de elegir un$U(1)$fase. Sin embargo, esto no es una simetría y, en particular, no tiene nada que ver con la conservación de la carga eléctrica.

1) Si recuerdas los axiomas de la mecánica cuántica, dicen que los estados físicos están representados por rayos en el espacio de Hilbert, es decir, por subespacios unidimensionales complejos$\mathbb{C} \Psi$. En los cálculos, a menudo es útil elegir un representante particular de esta clase de equivalencia.$\Psi$y formule una ecuación de evolución para este representante. Sin embargo, las trayectorias resultantes de los rayos$\mathbb{C} \Psi(t)$, no puede depender de la elección del representante, ya que todos los vectores en un rayo son físicamente indistinguibles. De ahí la "simetría" bajo rotaciones de fase. Si estuviera ausente, ¡habríamos cometido un error!

2) En la mecánica cuántica de muchas partículas, un hamiltoniano dado puede conservar el número de partículas o la carga eléctrica, o puede que no. Denotamos por$N$el operador tiene el valor propio$n$cuando se aplica a un$n$-vector de partículas$\Phi$. Entonces el$U(1)$-simetría asociada a la conservación del número de partículas es

$U(1) \ni e^{i \varphi} : \Psi \mapsto e^{-i N \varphi} \Psi$,

Es decir, gira todo$n$-partícula componentes de la función de onda con una fase diferente. Esto no es un cambio de representante en un rayo y por lo tanto es físicamente significativo. Tenga en cuenta cómo se ve esto en la segunda cuantización, es decir, introduzca un operador$a(\psi)^\dagger$con$\psi$una función de onda de una sola partícula y

$a(\psi)^\dagger \Omega = \psi$

dónde$\Omega$es el vacío de Fock. Entonces lo anterior$U_1$La transformación de simetría induce una acción de operadores por

$U(1) \ni e^{i \varphi} : a(\psi)^\dagger \mapsto e^{i N \varphi} a(\psi)^\dagger e^{-i N \varphi} = e^{i \varphi} a(\psi)^\dagger$

3) En el formalismo de integral de trayectoria para$n$-Mecánica cuántica bosónica del cuerpo, a menudo se usa la representación en términos de operadores de creación y aniquilación, es decir, la acción es un funcional de las funciones complejas.$\{a_i(t)\}_{i=1,2,\cdots n}$:

$S[a(t)] = \int_{t_i}^{t_f} \left[ \sum_i \overline{a}_i(t)\partial_t a_i(t) - H(\{a_i(t)\}_{i=1,2,\cdots n})\right] d t$

y el sistema preservará el número de partículas si es invariable bajo$U(1)$rotaciones de fase de los operadores.

En la formulación de onda piloto, la libertad de realizar cambios de fase de la función de onda$\Psi$corresponden a la libertad de sumar una derivada temporal total al Lagrangiano:

Esto sucede porque para derivar las ecuaciones de la formulación de la onda piloto, usamos el ansatz

Esto conduce a dos ecuaciones: la ecuación de continuidad y la ecuación de Hamilton-Jacobi que nos dice que podemos interpretar$S$como la acción.

Ahora, un cambio de fase de la función de onda significa

(En este sentido, las transformaciones de calibre son un tipo especial de las conocidas transformaciones canónicas, véase este artículo ).