Cargas conservadas y generadores

OP se pregunta si la carga conservada asociada a una simetría continua siempre genera la simetría misma. Podemos decir, en general, que la respuesta es

Sí.

Veamos cómo funciona esto.

Mecanica clasica.

Usamos una notación adaptada a la teoría clásica de campos en lugar de la mecánica de partículas puntuales, pero la primera incluye a la segunda como un subcaso especial, por lo que no perdemos generalidad.

Considere un sistema clásico que puede incluir o no campos de calibre y/o variables impares de Grassmann. Por simplicidad, consideramos un espacio-tiempo plano. Suponga que el sistema es invariante bajo la transformación infinitesimal$\phi\to\phi+\delta\phi$. Según el teorema de Noether , existe una corriente $j^\mu$

$$j^\mu\sim \frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot\phi_{,\mu}}\delta\phi$$ que se conserva en la concha, $$\partial_\mu j^\mu\overset{\mathrm{OS}}=0$$

Esto a su vez implica que la carga asociada de Noether $Q$

$$Q\overset{\mathrm{def}}=\int_{\mathbb R^{d-1}} j^{0}\,\mathrm d\boldsymbol x$$ se conserva, $$\dot Q\overset{\mathrm{OS}}=0$$

En Ref.1 se prueba que la carga$Q$genera la transformación$\delta\phi$,

$$\delta\phi=(Q,\phi)$$

dónde$(\cdot,\cdot)$es el soporte de DeWitt-Peierls . Esta es precisamente nuestra reivindicación. El lector encontrará la prueba del teorema en la referencia citada, así como una buena discusión sobre el significado del resultado.

Además, una declaración similar se aplica cuando el espacio-tiempo es curvo, pero esto requiere la existencia de un campo de muerte adecuado (cf. esta publicación de PSE ).

Además, para sistemas canónicos estándar, Ref.1 también prueba que$(\cdot,\cdot)$está de acuerdo con el corchete de Poisson$\{\cdot,\cdot\}$.

Mecánica cuántica.

Esto es de hecho un corolario del caso anterior. Ref.1 demuestra que, salvo las ambigüedades de orden habituales inherentes al procedimiento de cuantificación, el paréntesis de DeWitt-Peierls de dos campos fundamentales concuerda con el conmutador$[\cdot,\cdot]$de los operadores correspondientes.

Si asumimos que la ley de conservación clásica$\partial_\mu j^\mu\equiv 0$no es violada por el regulador (es decir, si la simetría no es anómala), entonces automáticamente obtenemos el análogo cuántico de nuestro resultado anterior, a saber

$$\delta\phi=-i[Q,\phi]$$

según sea necesario.

Referencias

1. Bryce DeWitt, El enfoque global de la teoría cuántica de campos .

Mi pregunta es si ambos, los generadores y las cargas conservadas de una simetría, ¿son siempre lo mismo?

Sí lo son. Para ver eso, consideremos una simetría genérica de la acción, que tiene una corriente conservada$j^\mu$debido al teorema de Noether. En ese caso podemos definir una corriente conservada como

$$Q(t)=\int d^3x J^0 ~.$$

Dado que los campos (es decir,$\phi$) son operadores, en primer orden se transforman bajo la simetría como

$$\phi\rightarrow\phi'=e^{iT}\phi e^{-iT}\simeq(1+iT)\phi(1-iT)=\phi+i[T,\phi]~,$$ dónde $T$es el generador de la transformación en el campo de la representación. Entonces tenemos $$\phi'-\phi=\delta\phi=i[T,\phi]~.$$

Si demostramos que$-i\delta\phi=[Q,\phi]$, que el juego ha terminado. Hagamos esto en los dos casos de traslaciones de espacio-tiempo y simetrías internas.

Traslaciones del espacio-tiempo : en el caso de las traslaciones del espacio-tiempo el teorema de Noether nos da 4 corrientes conservadas, como

$$\partial_\mu T^{\mu}_\nu=0$$ y así, de la expresión de $T^{\mu}_\nu$, tenemos $$Q_\nu(t)=\int d^3 xT^{0}_\nu=\int d^3 x(\pi\partial_\nu \phi-\mathcal L g^{0}_{\nu})$$ forma which (usando reglas canónicas de conmutación) $$[Q_\nu(t),\phi(y,t)]=\int d^3x[\pi(x,t)\partial_\nu \phi(x,t)-\mathcal L g^{0}_{\nu},\phi(y,t)]=-i\partial_\nu\phi(y,t)$$ eso es igual a $-i\delta\phi$(para una traducción dada de $a^\mu$) $$\phi'=\phi+a^\mu\partial_\mu\phi$$

Simetrías internas: : en el caso de simetría interna tenemos que

$$j^\mu=\frac{\partial \mathcal L}{\partial \partial^\mu\phi}\delta\phi$$ y entonces la corriente conservada es $$Q(t)=\int d^3x j^0=\int d^3 \pi(x,t)\delta\phi(x,t)~.$$ Podemos ver que este caso es más simple ya que $$[Q(t),\phi(y,t)]=\int d^3x[\pi(x,t),\phi(y,t)]\delta\phi(x,t)=-i\delta\phi(y,t)~.$$

Cualquier operador que conmuta con el hamiltoniano (y no tiene ninguna dependencia temporal explícita ) se conserva en el tiempo, como puede verse trivialmente a partir de la ecuación de movimiento de Heisenberg del operador . Por supuesto, si un operador$A$conmuta con el hamiltoniano, entonces$f(A)$lo hace también para cualquier función analítica$f$, por lo que trivialmente obtenemos un espacio de dimensión infinita de cantidades conservadas (no algebraicamente independientes).

Si la simetría es continua, entonces podemos indexar las transformaciones de simetría unitaria$U(\theta)$por un parámetro continuo$\theta$, que el generador de simetría$T := i \frac{dU}{d\theta}|_{\theta = 0}$es una cantidad conservada, y generalmente es el representante canónico de la clase de equivalencia de cantidades conservadas (algebraicamente dependientes) que identificamos como "la" cantidad conservada correspondiente a la simetría. Pero también podríamos haber elegido$U$en su lugar. (Para sistemas de muchos cuerpos y en teoría de campos,$T$suele ser más natural que$U$trabajar porque se puede representar como una suma/integral espacial sobre términos locales).

Si la simetría es discreta, entonces no podemos definir un generador, y debemos trabajar con el operador unitario$U$en sí mismo, que sigue siendo una cantidad conservada válida (por ejemplo, la paridad del campo, de modo que no tengamos que preocuparnos de que los escalares evolucionen en el tiempo a pseudoescalares o viceversa).

Entonces cualquier generador de una simetría continua es una cantidad conservada correspondiente a esa simetría, pero no toda cantidad conservada correspondiente a una simetría es el generador de una simetría continua.