¿Es más fundamental obtener la representación coordinada del operador de momento del conmutador que el generador de traslación?

Publicación relacionada: ¿Cuál es la expresión más general para la representación coordinada del operador de momento?

Hay dos métodos para obtener la representación coordinada del momento en la mecánica cuántica.

$$\langle x|p|y \rangle = -i \delta'(x-y). \tag{1}$$

El primero es del conmutador canónico.

$$[x,p]=i \tag{2}$$ Como se muestra en los principios de la mecánica cuántica de Dirac, cuarta edición, sección 22, en realidad hay una ambigüedad en este procedimiento. $$\langle x|p|y \rangle = -i \delta'(x-y) + F' \delta (x-y) \tag{3}$$ dónde $F':=dF/dx$es una derivada de una función general $F(x)$(Modifico ligeramente la ecuación en el libro de Dirac).

ecuación (3) satisface el conmutador (1), pero implica un valor arbitrario de expectativa de impulso. Como notó Dirac, esta ambigüedad se puede eliminar de un factor de fase local$\psi \rightarrow e^{-iF(x)} \psi$.

El segundo se refiere a que el operador de momento es el generador de la traducción, como se indica en la 1.ª edición de la mecánica cuántica moderna de Sakurai, p. 54,

$$( 1- \frac{ i p \Delta x'}{\hbar} ) | \alpha \rangle = \int dx' \mathcal{F} (\Delta x') | x ' \rangle \langle x | \alpha \rangle$$ $$= \int dx' | x' + \Delta x' \rangle \langle x' | \alpha \rangle$$ $$= \int dx' | x' \rangle \langle x' - \Delta x' | \alpha \rangle$$ $$= \int dx' | x' \rangle \left( \langle x'| \alpha \rangle - \Delta x' \frac{ \partial}{\partial x'} \langle x' | \alpha \rangle \right). \tag{1.7.15}$$

Comparación de rendimientos de ambos lados

$$p | \alpha \rangle = \int dx' | x' \rangle \left( - i \frac{ \partial}{\partial x'} \langle x'| \alpha \rangle \right) \tag{1.7.16}$$ $$\langle x' | p | \alpha \rangle = - i \frac{ \partial }{ \partial x'} \langle x'| \alpha \rangle \tag{1.7.17}$$

Parece que la arbitrariedad como Eq. (3) está oculto en el segundo enfoque.

Mis preguntas son:

(i) ¿Dirac ya descubrió el origen de la invariancia de gauge? Si no consideramos desde el conmutador, puedo decir, no hay invariancia de calibre. Un factor de fase local modificaría el valor esperado del momento, por lo tanto, solo podemos tener un factor de fase global que corresponda al mismo estado. Sin embargo, dado que el factor de fase local proviene del conmutador, tiene que ser una redundancia.

(ii) ¿Es el primer método, del conmutador, más fundamental que el generador de traducción? Ya que podemos encontrar la invariancia de calibre del primer método.