Teoría cuántica de campos de cantidades conservadas

Permítanme hacer algunos comentarios sobre este tema, ya que es un punto importante que a menudo se pasa por alto hasta tarde en la mayoría de los tratamientos estándar de QFT. Hay un par de lugares importantes donde intervienen las simetrías, y trataré de describirlos aquí.

Primero, recordemos que en una teoría clásica, el teorema de Noether tiene dos implicaciones importantes. El primero es la existencia de cargas conservadas que pueden ser útiles para resolver las ecuaciones de movimiento, etc. Pero su teorema también nos dice que estas cargas generan la transformación con la que están asociadas a través del corchete de Poisson . Es decir, supongamos que tenemos una transformación continua$T_\alpha$parametrizado por$\alpha$que actúa en nuestros campos$\phi$por

$$\phi^\prime = T_\alpha[\phi].$$ Si esta transformación es una simetría, entonces el teorema de Noether nos dice que habrá una carga asociada$Q$que se conserva: $$\frac{d Q}{d t}=\{Q,H\}=0$$ y que genera la simetría. Es decir, para cualquier función$F$en el espacio de fase, $$\frac{d F(T_\alpha[\phi])}{d\alpha}\biggr|_{\alpha=0}=\{F,Q\}.$$ Es decir, si tomamos la derivada de$F$a lo largo del flujo generado por la transformación$T$, esto es equivalente a calcular el corchete de Poisson de$F$y$Q$.

La razón por la que extiendo este punto es porque se traslada a la versión cuantificada de la teoría: las cargas$Q$que se conservan$[H,Q]=0$y están asociados a una simetría generan esa simetría a través del conmutador, hasta factores de$i$y$\hbar$.

Por ejemplo, sabemos que el operador de momento angular es el generador de rotaciones. El operador de momento lineal del generador de traslaciones, y así sucesivamente.

Entonces, el teorema de Noether proporciona un vínculo entre las transformaciones en nuestro espacio de Hilbert y las simetrías.

A continuación, sabemos que para cualquier colección de operadores de conmutación por pares, podemos diagonalizarlos todos simultáneamente. Esto es muy útil para organizar nuestro espacio Hilbert. Por ejemplo, cuando consideramos el átomo de hidrógeno, usamos el hecho de que el hamiltoniano conmuta con$L_z$y$L^2$escribir una base de estados en la forma$|E_n,\ell,m\rangle$. Si solo ha visto la presentación de Griffith sobre el problema del átomo de hidrógeno, le recomiendo que consulte el libro de Sakurai. Allí se enfatizan las álgebras de operadores (que son la forma clara de entender el papel de la simetría) en lugar de los tediosos problemas de PDE.

Finalmente, están las identidades de Ward, que desafortunadamente generalmente no se discuten hasta el final del tratamiento estándar de QFT. Esencialmente, estas son relaciones entre productos internos controlados por simetría. Es decir, supongamos que tenemos una colección de operadores$\mathcal{O}_1,\ldots,\mathcal{O}_n$y deseo calcular

$$\langle 0|\mathcal{O}_1\ldots\mathcal{O}_n|0\rangle.$$ Las simetrías nos dirán algo sobre cómo este valor de expectativa se relaciona con otras expectativas. La forma más sencilla de derivar las identidades proviene de lo que se conoce como redefinición de campo en un enfoque de integral de trayectoria, pero también se pueden obtener desde el punto de vista de un operador.

Esquemáticamente, estas identidades establecen que si$\frac{d}{d\alpha}$es la derivada con respecto a una simetría continua (en el mismo sentido que en el caso clásico anterior), entonces debemos tener la identidad

$$\frac{d}{d\alpha}\langle 0|\mathcal{O}_1\ldots\mathcal{O}_n|0\rangle=-i\sum_{k=1}^n\langle0|\mathcal{O}_1\ldots T[\mathcal{O}_k]\ldots\mathcal{O}_n|0\rangle.$$ Nuevamente, esto es solo un esquema para dar una idea de cómo funciona.

El poder de las identidades de Ward es que se mantienen sin perturbaciones y, como resultado, son una de las pocas declaraciones que podemos hacer con confianza sobre una teoría sin depender de alguna expansión perturbadora. Ya sea clásico o cuántico, ese es siempre el poder del teorema de Noether: nos dice cosas que de otro modo nunca podríamos calcular.

En cualquier caso, hay muy buena información sobre estas cosas por ahí, desafortunadamente he tendido a encontrarla muy dispersa.

La ecuación de movimiento invariante de Lorentz más simple posible para un campo es$\Box \phi = 0$. Las soluciones clásicas son ondas planas. Por ejemplo una solución es$\phi(x) = a_p(t) e^{i \vec p \cdot \vec x}$, que es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico.

Una solución general es
$\phi(x, t) = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} (a_p e^{-i p x} + a_p^\dagger e^{i p x})$
dónde$a_p$y$a_p^\dagger$son respectivamente los operadores de aniquilación y creación, y$[a_k, a_p^\dagger] = (2 \pi)^3 \delta^3 (\vec p - \vec k)$son las relaciones de conmutación de tiempo igual.

El operador conjugado canónicamente a$\phi(x)$en$t = 0$es$\pi(\vec x) = \partial_t \phi(x) |_{t = 0}$. Si calculas el conmutador, obtienes
$[\phi(\vec x), \pi(\vec y)] = i \delta^3 (\vec x - \vec y)$

Todo lo anterior es consistente con las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange, por lo tanto, el teorema de Noether también se cumple para los campos cuantificados.