¿Por qué usar simples para la homología singular?

nLab tiene una página sobre conjuntos cúbicos con conexiones con el siguiente extracto:

La categoría de cubo ordinario es una categoría de prueba. Esto significa que los conjuntos cúbicos desnudos tienen la estructura de una categoría con equivalencias débiles cuya categoría de homotopía es la de los ∞-groupoides.

Pero la categoría de cubos con conexión es incluso una categoría de prueba estricta (Maltsiniotis, 2008). Esto significa que bajo la realización geométrica (ver la discusión en la hipótesis de homotopía) el producto cartesiano de conjuntos cúbicos con conexión se envía al tipo de homotopía del producto correcto.

La falta de esta propiedad para conjuntos cúbicos sin conexión fue una de las razones originales para abandonar el enfoque cúbico inicial de Kan a la teoría de la homotopía combinatoria en favor del enfoque simplicio; las implicaciones de este nuevo resultado aún no se han analizado. Otra razón fue que los grupos cúbicos en general no eran complejos de Kan; sin embargo, los grupos cúbicos con conexión son complejos de Kan. Consulte el documento de Tonks que se enumera a continuación.

Lo que quito de esto es que, si bien los conjuntos cúbicos capturan correctamente el tipo de homotopía de un espacio, su categoría es defectuosa en una forma en que la categoría de conjuntos simpliciales no lo es, y los fundamentos del tema se desarrollaron antes de que se descubriera. cómo reparar la noción de conjunto cúbico.

El uso de simples es técnicamente más fácil, pero a veces uno no tiene más remedio que usar cubos, como en el caso de la configuración de la secuencia espectral de Jean-Pierre Serre. Para ello, Serre tuvo que desarrollar un enfoque con cubos en la década de 1950. Desde entonces, las secuencias espectrales se han convertido en herramientas estándar en muchas áreas de las matemáticas, por lo que ciertamente no se puede afirmar que no se hayan utilizado cubos en lugar de simples.

En el libro de Massey, donde se usan cubos en lugar de simples, para definir el grupo de cadenas, primero se debe definir el grupo de degenerados$n-$"cubitos"$D_n(X)$y luego modificar el espacio de todo singular$n-$"cubitos"$Q_n(X)$por los degenerados$D_n(X)$para finalmente llegar a la$n-$grupo de cadena dimensional$C_n(X)=Q_n(X)/D_n(X)$. En contraste, el libro de Vick, utilizando el enfoque simplista, define$C_n(X)$ser directamente el espacio de mapas continuos de$n-$simples, sin tener que modificar un subespacio "degenerado" primero; esto sugiere que tal construcción/paso solo es necesario cuando se usa el enfoque cúbico pero no el simplicial, y por lo tanto, la razón por la que muchos autores prefieren el enfoque simplicial puede ser porque es técnicamente más simple como resultado.

Las siguientes citas de este ensayo de Hurewicz parecen ser relevantes de alguna manera:

Clases de homotopía de mapeos de un$n-$politopo dimensional$P$en la esfera$S^n$están en correspondencia biunívoca con los elementos del$n-$grupo de cohomología dimensional de$P$con números enteros como coeficientes.

Determinar los grupos de homotopía de un espacio dado es, en términos generales, un problema extremadamente difícil (incluso para politopos finitos) que hasta ahora solo se ha resuelto en algunos casos especiales. A este respecto, existe una diferencia significativa entre homotopía y homología. Cuando un politopo$P$se divide en dos subpolitopos$Q$y$R$, existe una relación relativamente simple (teorema de Meyer Vietoris reformulado recientemente en términos de las llamadas secuencias exactas) entre las invariantes de homología de los politopos$P, Q, R$y la intersección$Q \cap R$. No existe una relación análoga para los grupos de homotopía. Esto está ligado al hecho de que una imagen continua de la n-esfera en$P$no puede descomponerse en "pequeñas" imágenes esféricas, del mismo modo que una cadena simple puede descomponerse en "pequeñas partes". Por lo tanto, el proceso básico de la teoría de la homología que consiste en descomponer un espacio en piezas más pequeñas con una estructura de homología más simple no tiene equivalente en la teoría de la homotopía.

Aunque no estoy seguro de si esto es del todo relevante, ya que Hurewicz está discutiendo esferas$S^n$, que no tienen límite, y no las bolas$B^n$, que tienen las esferas$S^{n-1}$como límite, y las esferas$S^{n-1}$son homeomorfos (¿creo?) a la suma conectada de dos$n-1$-pelotas$B^{n-1}$. En otras palabras, parece que el problema que describe Hurewicz existe solo para esferas "sin límites", pero no para pelotas.

Esta distinción entre bolas y esferas parece especialmente relevante en el siguiente pasaje:

Dejar$Y$sea ​​un espacio conexo por caminos y sea$H_n(Y)$ser el$n-$grupo de homología dimensional de$Y$basado en cadenas singulares, con números enteros como coeficientes. Una imagen continua de$S^n$en$Y$puede ser considerado como un singular$n-$ciclo. Dado que dos imágenes esféricas homotópicas determinan ciclos singulares homólogos, se obtiene un homomorfismo "natural" de$\pi_n(Y)$en$H_n(Y)$.

Dado que las esferas son esencialmente bolas "sin límites" (ya que son la suma conectada de dos bolas a lo largo de su límite, creo), esto podría sugerir que, dado que la imagen de las bolas "sin límites" se encuentra en el núcleo del mapa de límites (que es lo que siendo un singular$n-$ciclo significa, creo), entonces la imagen de bolas arbitrarias sería solo una cadena arbitraria, no necesariamente una con límite cero (una en el núcleo del mapa de límites). En otras palabras, esa homología singular usando$n-$bolas es lo mismo que la homología singular usando$n-$simples o$n-$cubos, y que los simples se usan generalmente por respeto a la tradición histórica y porque la elección no afecta la teoría resultante. Pero no estoy seguro de esto en absoluto.

Espacios conectados en arco cuya homotopía se agrupa en dimensiones menores o iguales a$n$desaparecen se llaman$n$-conectado. Esta propiedad es equivalente a la condición de que toda imagen continua de un objeto arbitrario$n$-politopo dimensional en$F$Ser homotópico a un solo punto.

Me acabo de dar cuenta de que la siguiente cita de Topología algebraica de Hatcher (p. 101) podría ser relevante, aunque parece abordar más directamente los complejos celulares, simpliciales y cúbicos en lugar de la homología singular en sí misma:

Los poliedros arbitrarios siempre se pueden subdividir en poliedros especiales llamados simples... por lo que no hay pérdida de generalidad, aunque inicialmente hay alguna pérdida de eficiencia, al restringir la atención por completo a los simples.