¿Se pueden identificar 2-simples singulares con homotopías?

(Hablando como alguien que realmente no ha tenido tiempo de digerir todas estas cosas)

Dejar$I$sea ​​el intervalo y supongamos que estamos trabajando en una subcategoría cerrada cartesiana de Top . (esta suposición se puede eliminar si es necesario, tomando estos argumentos como mera inspiración y solo usando las declaraciones sin espacio funcional que inspiran)

La intuición sobre una homotopía es verlas no como mapas.$I \times X \to Y$, pero como mapas$I \to Y^X$: una homotopía entre dos funciones es solo un camino en el espacio de función correspondiente.

a cualquier espacio$X$, las homotopías en$X$son los mapas$I \to X$, y podemos recogerlos en un espacio$X^I$. Para cualquier punto en particular$a,b \in X$, también podemos considerar caminos entre ellos:

Ahora, si vamos a hablar de una homotopía de homotopías, podríamos considerar mapas$I \to X^I$. Estas son (creo) llamadas homotopías "libres". Por supuesto, estos corresponden a mapas.$I^2 \to X$.

Pero a cualquier punto$a,b \in X$, también podemos considerar mapas$I \to \text{Path(a,b)}$— esto es lo que generalmente se quiere decir cuando se habla de una "homotopía entre caminos". Estos corresponden precisamente a esos mapas$I^2 \to X$cuyos lados izquierdo y derecho son las funciones constantes de$a$y$b$.

Como insistimos en que los dos lados son funciones constantes, también podríamos trabajar en el espacio cociente que colapsa cada lado en un punto. El resultado final sigue siendo homeomorfo a$I^2$, pero el resultado es quizás más fácil de expresar construyendo un homeomorfismo para$D^2$(el disco de la unidad) en su lugar.

Hay muchos espacios homeomorfos a$D^2$que podríamos usar. Cada uno da un sabor diferente.

El disco de la unidad$D^2$enfatiza la naturaleza de una homotopía como de un camino a otro; más generalmente el$n$-globo (es decir, unidad$n$-pelota)$D^n$puede verse como un camino generalizado desde sus hemisferios superior e inferior, que son copias de$D^{n-1}$.

los simples$\Delta^n$enfatizar mejor la composición; p.ej$\Delta^2$puede verse como una relación de un compuesto de dos caminos con un tercer camino.$\Delta^3$da una especie de composición ternaria de un triángulo que se subdivide agregando un nuevo punto en su medio. Estos son históricamente importantes ya que su teoría combinatoria (conjuntos simpliciales) se elaboró ​​​​primero, y ¿tal vez sea más simple calcular con ellos?

los cubos$I^n$surgen naturalmente del tipo de razonamiento que doy arriba, y permiten las composiciones binarias obvias a lo largo de todos sus ejes. En cuanto a lo que respecta$I^2$como un camino entre caminos, creo que la mejor imagen es no pensar en ello como si fuera del borde sur al borde norte, sino como un camino entre compuestos$\text{South}\cdot\text{East} \to \text{West}\cdot\text{North}$.

Por supuesto, podrían usarse otras formas; pero estas formas son las más populares y las más estudiadas, y las versiones combinatorias correspondientes tienen nombres: "conjuntos globulares", conjuntos simpliciales y "conjuntos cúbicos".