Importancia de los grupos de homología de un espacio topológico

Los elementos de torsión parecen intuitivamente significativos, así como los elementos libres de torsión. Pero partamos de los primeros principios, encontrando las condiciones bajo las cuales una cadena$c = \sum_{i}a_{i} \sigma_{i} \in C_{n}$podría, en un sentido intuitivo, considerarse equivalente a un agujero n-dimensional, y relacionar estas condiciones con la homología.

Apenas,$c$es un arreglo de simples, simples singulares, celdas, etc., cada uno de los cuales$\sigma_{i}$aparece$|a_{i}|$veces en una orientación "hacia adelante" si$a_{i}$es positiva y una orientación "inversa" si$a_{i}$es negativo Si este arreglo$c$es candidato a ser equivalente a un agujero, debe ser un ciclo: es decir, un$n$-cadena dimensional sin$(n-1)$-principio o final dimensional. Por ejemplo, un elemento del grupo de ciclos unidimensionales$Z_{1}$podría ser una cadena "cíclica" de aristas sin extremos, mientras que un elemento de$Z_{2}$podría ser una cadena de caras que de manera similar "da toda la vuelta" sin borde exterior. Ahora, para evaluar el operador de frontera$\partial_{n}:C_{n}\rightarrow C_{n-1}$en$c$es esencialmente enviar cada$\sigma_{i}$a las partes "finales" de su$(n-1)$-límite dimensional, mientras se restan las partes "iniciales". algunos términos de$\partial_{n}(c)$podría anularse, como fin de uno o más de los$\sigma_{i}$podría ser el principio de otro, pero para que no haya principio ni fin, los términos de$\partial_{n}(c)$finalmente debe sumar cero. Así el grupo de ciclos$Z_{n}$es intuitivamente$\ker(\partial_{n})$.

Entonces, para mostrar la intuición, debemos mostrar que cociente por$B_{n}=\text{im}(\partial_{n+1})$da los ciclos particulares que son equivalentes a "agujeros" como generadores (es decir, miembros de alguna elección de grupo electrógeno) del grupo de homología resultante$H_{n}=Z_{n}/B_{n}$. Mientras$c \in H_{n}$es equivalente al tipo más simple de agujero si es un generador libre de torsión, como una forma de túnel (como un meridiano de un toro) si$n=1$, o una forma de cavidad (como una esfera en una cuña de suma de esferas) si$n=2$, también podemos dar una idea de lo que representan geométricamente los generadores de orden finito.

Claramente$c$no es equivalente a un agujero si se llena con una cadena${c}'$de dimensión$n+1$: es decir, si$c = \partial_{n+1}({c}')$, entonces$c\in B_{n}$y$c$es trivial en$H_{n}$. En cambio,$c$es equivalente a algún tipo de agujero si no está lleno por sí solo$(n+1)$-cadena dimensional. El tipo de agujero más simple mencionado anteriormente puede considerarse un ciclo del cual ningún múltiplo distinto de cero es llenado por tal cadena. Si$c$es equivalente a uno de estos agujeros, entonces es un generador de$Z_{n}$ningún múltiplo distinto de cero está en$B_{n}$, y por lo tanto un generador libre de torsión de$H_{n}$. Otro tipo de agujero es un ciclo que no se llena con un$(n+1)$-cadena dimensional, pero algún múltiplo de la cual está lleno; el elemento no trivial de$H_{1}(\mathbb{R}\text{P}^{2})$es este tipo Cuando$c$es un generador de$Z_{n}$tal que algunos$k\geq2$es el entero positivo más bajo con$kc$un límite, y por lo tanto un generador de orden$k$de$H_{n}$, satisface la intuición de este tipo de agujero, que llamamos orden-$k$agujero. El primer tipo de agujero representado por un elemento de orden infinito, siguiendo esta terminología, se denomina agujero de orden.$\infty$agujero, y una orden-$1$el agujero está representado por un ciclo que no determina un agujero en absoluto.

Reconocer que no todos los elementos de$H_{n}$pertenecen a nuestro grupo electrógeno elegido, por lo que son sumas de agujeros al igual que$C_{n}$consiste en sumas de celdas o simples. También reconozca que muchos ciclos podrían determinar el mismo agujero (o suma de agujeros); tome dos meridianos de un toro, por ejemplo. Esta relación se corresponde con ciclos que son dos representantes diferentes de la misma clase de homología y, por lo tanto, tienen su diferencia (en$Z_{n}$) perteneciendo a$B_{n}$, por lo que su diferencia es un no agujero y, por lo tanto, despreciable desde el punto de vista de los agujeros.

Esta noción de orden-$k$agujeros nos permite ampliar de manera más intuitiva la importancia de los generadores sin torsión a los generadores de torsión bajo la conceptualización homológica clásica de un agujero como "un ciclo que no es un límite". Para$k\geq2$, una orden-$k$agujero es "un ciclo que no es un límite sino que es$\frac{1}{k}$un límite." Es$\frac{1}{k}$lleno, así$k$de ella juntos se llenarían. Una orden-$\infty$agujero es, por extensión, "un ciclo que no es ni un límite ni una fracción de un límite". En resumen, los grupos de homología cuentan los huecos y las fracciones con las que se llenan.

Ahora en el tema de$0$-La homología dimensional, procedemos por analogía.$H_{2}$mide las caries , o$2$-ciclos vacíos por$3$-cadenas.$H_{1}$medidas túneles , o$1$-ciclos vacíos por$2$-cadenas. Entonces$H_{0}$mide brechas , o$0$-ciclos vacíos por$1$-cadenas. Uno esperaría que tales brechas fueran pares que constaran de un punto inicial y un punto final, con la región entre ellos sin llenar. El número de huecos, y por lo tanto el rango de$H_{0}$, sería más intuitivamente el número de componentes de la ruta menos uno, como queda claro si uno "alinea" los componentes de la ruta. Pero si tomamos la ruta obvia y tomamos la homología no reducida, obtenemos un elemento libre de torsión de$H_{0}(X)$incluso para$X$conectado por caminos; la razón de esto es que todos$0$-las cadenas son ciclos, incluyendo puntos únicos que terminan representando clases de homología no triviales. Nuestra intuición anterior sugiere que solo las cadenas generadas por puntos finales menos puntos iniciales, o por cadenas de la forma$\sigma-\tau$con$\sigma$y$\tau$puntos individuales, deben ser ciclos, lo cual es cierto en homología reducida bajo la nueva definición de$\partial_{0}$. Y el efecto general de reemplazar$H_{0}$con$\tilde{H}_{0}$es feliz, cociente por el elemento libre de torsión extra "garantizado" para producir un grupo de rango deseado.

EDITAR 18 de julio de 2015: esta respuesta cita un libro de John Stillwell que proporciona una explicación de la torsión de grupos de homología similar al que he dado.

La imagen mental de la homología frente a "$n$"agujeros dimensionales" se ve mejor observando los componentes libres de torsión de los grupos de homología. En particular, la suma alterna de los rangos de la homología da la característica de Euler, que está determinada por los agujeros. Por ejemplo, con$S^2$,$H_i(S^2) \simeq \mathbb{Z}$si y si$i=0,2$y es trivial por lo demás, los rangos dan$\chi = 1-0+1=2$. Para$\mathbb{R}P^n$con$n$incluso, todos los grupos por encima del grado 0 son triviales o de torsión, por lo que$\chi = 1$, ya que solo se incluye el grado 0 en el cálculo.

Para cualquier complejo$X$, la homología de grado cero da el número de componentes conectados del espacio. En particular,$H_0(X) \simeq \mathbb{Z}^n$, dónde$n$es el número de componentes de$X$.