En lo que sigue, deja ser el estándar p-simplex en . Esta pregunta está inspirada en la siguiente cita de la Teoría de la Homología de Vick , p.3:
Dejar Sea un espacio topológico. Un p-simplex singular en es una función continua
Tenga en cuenta que los simples 0 singulares pueden identificarse con los puntos de , el 1 singular se simplifica con los caminos en , y así sucesivamente [énfasis mío].
Esto inmediatamente me hizo preguntarme si los 2-simples singulares pueden identificarse con las homotopías de . Ahora, obviamente, el 2-simple estándar es homeomorfo a , entonces existe un mapa continuo , y por lo tanto por composición, para cualquier singular 2-simplex , automáticamente tenemos un mapa continuo .
Sin embargo, para que esto sea una homotopía, necesitamos además que los mapas y ser constantes (al menos según la definición de homotopía dada en Topología algebraica de Hatcher ).
Pregunta: ¿existe tal mapa continuo que satisface estas dos condiciones adicionales?
EDITAR: esta página afirma que podemos reemplazar mapas continuos del estándar simplex con aplicaciones continuas desde el cerrado pelota, aunque comete el error de decir que tiene que ser un homeomorfismo (solo tiene que ser continuo), y no menciona ( cubos) en absoluto, lo que sería necesario para definir un homotopía.
Esta página también establece la afirmación de que los 1-simples singulares se pueden identificar con caminos, y dice que
Podríamos generalizar el grupo fundamental tomando clases de homotopía de singular simple en , y haciendo una definición apropiada del 'producto' de dos simples singulares. De hecho, esto se puede hacer, pero los grupos resultantes son los grupos de homotopía. .
Esto parecería corroborar mi sospecha de que singular los simples están relacionados o son equivalentes al conjunto de todas las homotopías de caminos en , pero no estoy muy seguro.
Esta página web afirma que los 0-simples singulares se pueden identificar con puntos, y que los 1-simples singulares se pueden identificar con rutas, pero dice "Complete esto más tarde" para los 2-simples singulares.
Esta página web establece que singular simplifica generaliza caminos en , pero no aclara cómo, específicamente si esta generalización es lo mismo que las homotopías. Aunque sí dice que "esta construcción... es uno de los enfoques clásicos para determinar invariantes del tipo de homotopía del espacio". Y dice que el complejo simplicial singular de es su nervio .
Este documento da una buena intuición de cómo en otros contextos las homotopías son una generalización natural de puntos y caminos a dimensiones superiores.
(Hablando como alguien que realmente no ha tenido tiempo de digerir todas estas cosas)
Dejar sea el intervalo y supongamos que estamos trabajando en una subcategoría cerrada cartesiana de Top . (esta suposición se puede eliminar si es necesario, tomando estos argumentos como mera inspiración y solo usando las declaraciones sin espacio funcional que inspiran)
La intuición sobre una homotopía es verlas no como mapas. , pero como mapas : una homotopía entre dos funciones es solo un camino en el espacio de función correspondiente.
a cualquier espacio , las homotopías en son los mapas , y podemos recogerlos en un espacio . Para cualquier punto en particular , también podemos considerar caminos entre ellos:
Ahora, si vamos a hablar de una homotopía de homotopías, podríamos considerar mapas . Estas son (creo) llamadas homotopías "libres". Por supuesto, estos corresponden a mapas. .
Pero a cualquier punto , también podemos considerar mapas — esto es lo que generalmente se quiere decir cuando se habla de una "homotopía entre caminos". Estos corresponden precisamente a esos mapas cuyos lados izquierdo y derecho son las funciones constantes de y .
Como insistimos en que los dos lados son funciones constantes, también podríamos trabajar en el espacio cociente que colapsa cada lado en un punto. El resultado final sigue siendo homeomorfo a , pero el resultado es quizás más fácil de expresar construyendo un homeomorfismo para (el disco de la unidad) en su lugar.
Hay muchos espacios homeomorfos a que podríamos usar. Cada uno da un sabor diferente.
El disco de la unidad enfatiza la naturaleza de una homotopía como de un camino a otro; más generalmente el -globo (es decir, unidad -pelota) puede verse como un camino generalizado desde sus hemisferios superior e inferior, que son copias de .
los simples enfatizar mejor la composición; p.ej puede verse como una relación de un compuesto de dos caminos con un tercer camino. da una especie de composición ternaria de un triángulo que se subdivide agregando un nuevo punto en su medio. Estos son históricamente importantes ya que su teoría combinatoria (conjuntos simpliciales) se elaboró primero, y ¿tal vez sea más simple calcular con ellos?
los cubos surgen naturalmente del tipo de razonamiento que doy arriba, y permiten las composiciones binarias obvias a lo largo de todos sus ejes. En cuanto a lo que respecta como un camino entre caminos, creo que la mejor imagen es no pensar en ello como si fuera del borde sur al borde norte, sino como un camino entre compuestos .
Por supuesto, podrían usarse otras formas; pero estas formas son las más populares y las más estudiadas, y las versiones combinatorias correspondientes tienen nombres: "conjuntos globulares", conjuntos simpliciales y "conjuntos cúbicos".
Najib Idrissi
Chill2Macht
Ronnie marrón
Chill2Macht