Por lo que entiendo, los grupos de homología singulares de un espacio topológico se definen así:
Particularidades topológicas. Hay un funtor covariante que asigna a cada número natural el correspondiente -símplex. Esto produce un funtor
Por lo tanto, a cada espacio topológico , podemos asignar un conjunto simplicialTonterías generales. Observamos que todo conjunto simplicial induce un grupo abeliano simplicial; que todo grupo abeliano simplicial induce un complejo en cadena; y que los complejos de cadena tienen grupos de homología y cohomología. Ergo, los conjuntos simpliciales tienen grupos de homología/cohomología.
Poniendo estos juntos, podemos hablar de los grupos de homología y cohomología de un espacio topológico . Sin embargo, los detalles topológicos no parecen demasiado importantes. De hecho, para cualquier categoría y cualquier funtor , hay un conjunto simplicial adjunto a cada , y por lo tanto tiene homología y cohomología.
Por ejemplo, el funtor de conjunto subyacente tiene un adjunto izquierdo . Pero desde y , esto produce un funtor . Esto a su vez debería permitirnos adjuntar grupos de homología y cohomología a cada monoide. , estudiando el conjunto simplicial .
Pregunta. ¿Es esto una cosa? ¿Si no, porque no?
Si entendí bien, tienes un objeto cosimplicial (también conocido como un funtor ), y un objeto ; y estás considerando el conjunto simplicial . Claro, la gente usa construcciones como esta de vez en cuando, es una construcción muy general... Pero como es tan general, es difícil ser más específico que eso. Ocurre en toneladas de entornos diferentes.
No creo que sea justo llamar a eso "la homología de ", tampoco; depende en gran medida de lo que es. Por ejemplo, cuando tiene una categoría tenso sobre , dados dos objetos y , puede construir el espacio de mapeo
Aún más específicamente el conjunto simplicial singular es dado por (dónde se tensa sobre conjuntos simpliciales de la manera estándar). Entonces, la homología es realmente un caso especial de un caso especial.
Lo que estás considerando es muy general. La homología es interesante porque satisface cosas como los axiomas de Eilenberg-Steenrod, tenemos teoremas como la UCT, el teorema de Künneth... Puede probar mucho sobre la homología usando la configuración que está considerando (por ejemplo es obvio, y luego tienes el teorema de Eilenberg-Zilber y finalmente la fórmula de Künneth), pero muchas otras propiedades dependen en gran medida del usado.
Ittay Weiss
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