¿Por qué la ecuación de onda necesita dos circuitos integrados cuando la ecuación de onda "factorizada" solo necesita uno?

Question

¿Por qué la ecuación de onda necesita dos circuitos integrados cuando la ecuación de onda "factorizada" solo necesita uno?

ondas
Física
ecuaciones diferenciales

usuario45664

La ecuación de onda

{tu}_{X X} (X, t) = \frac{1}{C^{2}} {tu}_{t t} (X, t)

$u_{xx}(x,t)=\frac {1}{c^2}u_{tt}(x,t)$

requiere dos condiciones iniciales porque la ecuación es de segundo orden:

IC1:

tu (X, 0) = F (X)

$u(x,0)= f(x)$

IC2:

{tu}_{t} (X, 0) = gramo (X)

$u_{t}(x,0)= g(x)$

Pero cuando se factoriza:

{tu}_{t t} - C^{2} {tu}_{X X} = (\frac{\partial}{\partial t} - C \frac{\partial}{\partial X}) (\frac{\partial}{\partial t} + C \frac{\partial}{\partial X}) tu (X, t) = 0

$u_{tt} - c^2 u_{xx} = \bigg( \frac{\partial }{\partial t} - c \frac{\partial }{\partial x} \bigg) \bigg( \frac{\partial }{\partial t} + c \frac{\partial }{\partial x} \bigg) u(x,t) = 0$

solo requiere una condición inicial cuando cada uno de los factores se iguala a cero:

(\frac{\partial}{\partial t} - C \frac{\partial}{\partial X}) tu (X, t) = 0

$\bigg( \frac{\partial }{\partial t} - c \frac{\partial }{\partial x} \bigg) u(x,t)= 0$

(\frac{\partial}{\partial t} + C \frac{\partial}{\partial X}) tu (X, t) = 0

$\bigg( \frac{\partial }{\partial t} + c \frac{\partial }{\partial x} \bigg)u(x,t)=0$

IC1:

tu (X, 0) = F (X)

$u(x,0)= f(x)$

porque los 'factores' son de primer orden.

Entonces entiendo matemáticamente por qué en el primer caso se necesitan dos circuitos integrados mientras que en el segundo caso solo se necesita un circuito integrado. Pero si las ecuaciones de onda factorizadas y no factorizadas son equivalentes, y contienen la misma información, no entiendo intuitiva o físicamente la diferencia en la cantidad de circuitos integrados requeridos.

Mi pregunta es: intuitiva y físicamente, ¿por qué la ecuación de onda necesita dos circuitos integrados cuando la ecuación de onda 'factorizada' solo necesita uno?

Ver también:

Intuición de por qué la ecuación de onda necesita la segunda condición inicial (por ejemplo, velocidad)

Intuitivamente, ¿por qué solo se necesitan dos condiciones iniciales para la ecuación de onda? ¿Por qué no 3 o 4?

https://math.stackexchange.com/q/2706776/147776

https://física.stackexchange.com/a/403761/45664

EDITAR 6/2/18 VER @jcandy RESPUESTA ABAJO PARA CORRECCIONES A ESTA PREGUNTA Y PARA LA RESPUESTA

Las ecuaciones con los factores debieron haberse escrito

(\frac{\partial}{\partial t} - C \frac{\partial}{\partial X}) tu (X, t) = v

$\bigg( \frac{\partial }{\partial t} - c \frac{\partial }{\partial x} \bigg) u(x,t)= v$

(\frac{\partial}{\partial t} + C \frac{\partial}{\partial X}) v (X, t) = 0

$\bigg( \frac{\partial }{\partial t} + c \frac{\partial }{\partial x} \bigg)v(x,t)=0$

con un IC dado para cada ecuación.

knzhou

Una solución general de la ecuación de onda es la suma de una solución de cada una de las dos ecuaciones de primer orden que tienes. Eso significa que necesita una condición inicial para cada una de las dos ecuaciones de primer orden, y

1 + 1 = 2

$1 + 1 = 2$ .

usuario45664

Entonces, ¿básicamente mi IC1 se usa dos veces? :)

knzhou

¡No exactamente! Básicamente, tiene dos circuitos integrados, pero los está dividiendo de diferentes maneras. En el caso de segundo orden, los divide en "posición inicial" y "velocidad inicial". En el caso de primer orden, los divide en "cantidad inicial de onda que se mueve hacia la derecha" y "cantidad inicial de onda que se mueve hacia la izquierda". Por lo tanto, no son lo mismo, pero finalmente arrojan la misma información.

knzhou

De hecho, sabemos exactamente cómo convertir de un conjunto de estos circuitos integrados al otro. Es solo la solución de d'Alembert, como discutimos aquí . Es como un cambio de base en álgebra lineal.

usuario45664

Debería escribir esto como una respuesta, demasiado importante para un comentario.

usuario196418

Vea la respuesta a continuación. Tu factorización es incorrecta. Tienes dos campos, un doblete, cuando factorizas. Por lo tanto, tiene 1 IC para cada = 2 IC para el campo.

usuario45664

@ggcg ¿por qué lo llamas doblete?

usuario196418

Porque eso es esencialmente lo que ha hecho, creó un doblete de campos, un vector de campo de 2 dim [u, v], donde cada uno satisface una ecuación de primer orden. En la teoría de PE, estos pueden estar relacionados con los modos de propagación hacia adelante y hacia atrás y pueden transformarse en otras representaciones que desacoplan estos modos en medios refractivos.

Respuestas (1)

¿Por qué la ecuación de onda necesita dos circuitos integrados cuando la ecuación de onda "factorizada" solo necesita uno?

Una solución general de la ecuación de onda es la suma de una solución de cada una de las dos ecuaciones de primer orden que tienes. Eso significa que necesita una condición inicial para cada una de las dos ecuaciones de primer orden, y $1 + 1 = 2$ .
¡No exactamente! Básicamente, tiene dos circuitos integrados, pero los está dividiendo de diferentes maneras. En el caso de segundo orden, los divide en "posición inicial" y "velocidad inicial". En el caso de primer orden, los divide en "cantidad inicial de onda que se mueve hacia la derecha" y "cantidad inicial de onda que se mueve hacia la izquierda". Por lo tanto, no son lo mismo, pero finalmente arrojan la misma información.
De hecho, sabemos exactamente cómo convertir de un conjunto de estos circuitos integrados al otro. Es solo la solución de d'Alembert, como discutimos aquí . Es como un cambio de base en álgebra lineal.
Debería escribir esto como una respuesta, demasiado importante para un comentario.
Vea la respuesta a continuación. Tu factorización es incorrecta. Tienes dos campos, un doblete, cuando factorizas. Por lo tanto, tiene 1 IC para cada = 2 IC para el campo.
Porque eso es esencialmente lo que ha hecho, creó un doblete de campos, un vector de campo de 2 dim [u, v], donde cada uno satisface una ecuación de primer orden. En la teoría de PE, estos pueden estar relacionados con los modos de propagación hacia adelante y hacia atrás y pueden transformarse en otras representaciones que desacoplan estos modos en medios refractivos.

jcandy · Answer 1

Tu factorización no es correcta. Piensa en la ecuación más simple $\partial_{xx} u = 0$ . Esto puede ser "factorizado" de acuerdo con $\partial_x \left( \partial_x u\right) = 0$ . Entonces se diría que el sistema factorizado se puede escribir como

\begin{aligned} \partial_{X} v & = 0 \\ \partial_{X} tu & = v \end{aligned}

$\begin{align} \partial_x v &~= 0 \\ \partial_x u &~= v \end{align}$ dónde

v

$v$ es una función auxiliar. En cada línea anterior, la derivada representa un coeficiente indeterminado. Por lo tanto, hay un total de dos condiciones iniciales requeridas. Una explicación más detallada está aquí: https://math.stackexchange.com/a/84268/275678

No entiendo "Tu factorización no es correcta". El mío se ve idéntico a lo que está en la referencia que proporcionó. Aunque entiendo "En cada línea anterior, la derivada representa un coeficiente indeterminado. Por lo tanto, se requieren un total de dos condiciones iniciales". Sin embargo, mire mis comentarios anteriores a @knzhou.
Tu escribiste $D_- u =0$ y $D_+ u = 0$ , que son dos ecuaciones desacopladas para el mismo campo $u$ . Deberías escribir $D_- v = 0$ y $D_+ u = v$ , que son dos ecuaciones acopladas para un par de campos, $u$ y $v$ .
Entonces en tu respuesta puedes $\partial_x \left( \partial_x u\right) = 0$ escribirse como $\partial_x \left( v\right) = 0$ ?
En mi respuesta, $\partial_x \left( \partial_x u\right)=0$ se escribe como $\partial_x v = 0$ dónde $v = \partial_x u$ . Necesitas ambas ecuaciones de primer orden para representar la ecuación original de segundo orden.
He editado mi pregunta para hacer referencia a su respuesta.

¿Por qué la ecuación de onda necesita dos circuitos integrados cuando la ecuación de onda "factorizada" solo necesita uno?

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