Intuitivamente, ¿por qué solo se necesitan dos condiciones iniciales para la ecuación de onda? ¿Por qué no 3 o 4?

Question

Intuitivamente, ¿por qué solo se necesitan dos condiciones iniciales para la ecuación de onda? ¿Por qué no 3 o 4?

ondas
Física
ecuaciones diferenciales

usuario45664

Esta pregunta está estrechamente relacionada con:

Intuición de por qué la ecuación de onda necesita la segunda condición inicial (por ejemplo, velocidad)

Dada la ecuación de onda

{tu}_{X X} (X, t) = \frac{1}{C^{2}} {tu}_{t t} (X, t)

$u_{xx}(x,t)=\frac {1}{c^2}u_{tt}(x,t)$

con condiciones iniciales:

IC1:

tu (X, 0) = F (X)

$u(x,0)= f(x)$

IC2:

{tu}_{t} (X, 0) = gramo (X)

$u_{t}(x,0)= g(x)$

Mi pregunta: intuitivamente/físicamente, ¿por qué solo se necesitan dos condiciones iniciales?

Por ejemplo, se dan condiciones iniciales comunes para el desplazamiento y la velocidad. ¿Por qué no también la aceleración? ¿Por qué no es necesaria? Me parece intuitivamente que si se variara la aceleración inicial, debería tener un efecto sobre la onda que se propaga.

Sé que matemáticamente, dado que la ecuación es de segundo orden, necesita dos condiciones iniciales, pero no lo entiendo completamente de forma intuitiva o física.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/18588/2451 y enlaces allí.

Dwade64

No necesitas una condición inicial para resolver esta ecuación algebraica:

2 x + 10 = 22

$2x + 10 = 22$ . Una ecuación diferencial es solo una ecuación algebraica, pero esencialmente con derivadas. Tal como lo resolviste

x

$x$ en la ecuación algebraica anterior, podría resolver para

u_{t t}

$u_{tt}$ y listo

u_{t t}

$u_{tt}$ sería la condición de aceleración inicial. Ya está allí. Sin embargo, con las ecuaciones diferenciales, siempre estamos más interesados en la función original, de la que surgieron todas estas derivadas. De lo contrario, una clase Diff EQ sería realmente simple. Simplemente factorizarías y otras cosas como lo hicimos en álgebra

Respuestas (5)

Intuitivamente, ¿por qué solo se necesitan dos condiciones iniciales para la ecuación de onda? ¿Por qué no 3 o 4?

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/18588/2451 y enlaces allí.
No necesitas una condición inicial para resolver esta ecuación algebraica: $2x + 10 = 22$ . Una ecuación diferencial es solo una ecuación algebraica, pero esencialmente con derivadas. Tal como lo resolviste $x$ en la ecuación algebraica anterior, podría resolver para $u_{tt}$ y listo $u_{tt}$ sería la condición de aceleración inicial. Ya está allí. Sin embargo, con las ecuaciones diferenciales, siempre estamos más interesados en la función original, de la que surgieron todas estas derivadas. De lo contrario, una clase Diff EQ sería realmente simple. Simplemente factorizarías y otras cosas como lo hicimos en álgebra

Valter Moretti · Answer 1

Esta no es la verdadera respuesta matemática, que es mucho más directa pero mucho menos intuitiva, pero es una fuerte sugerencia hacia la idea de que $u(x,0)$ y $\partial_tu(x,0)$ incorporar toda la información suficiente y necesaria para construir la solución del problema.

Supongamos que sabes $u(x,0)$ y $\partial_tu(x,0)$ , las ecuaciones diferenciales dan $\partial^2_tu(x,0)$ gratis :

\partial_{t}^{2} tu (X, 0) = C^{2} \partial_{X}^{2} tu (X, 0) .

$\partial^2_tu(x,0) = c^2 \partial^2_xu(x,0)\:.$ En realidad, la ecuación diferencial también dice

\begin{matrix} (1) & \partial_{t}^{3} tu (X, t) = C^{2} \partial_{t} \partial_{X}^{2} tu (X, t) = C^{2} \partial_{X}^{2} \partial_{t} tu (X, t) . \end{matrix}

$\partial^3_tu(x,t) = c^2 \partial_t\partial^2_xu(x,t) =c^2\partial^2_x\partial_tu(x,t)\:.\tag{1}$ En particular

\partial_{t}^{3} tu (X, 0) = C^{2} \partial_{X}^{2} \partial_{t} tu (X, 0) .

$\partial^3_tu(x,0) = c^2 \partial^2_x\partial_tu(x,0)\:.$ El lado derecho se conoce si sabemos

\partial_{t} u (x, 0)

$\partial_tu(x,0)$ (tenemos que derivar el doble de esta función con respecto a

x

$x$ ), y lo sabemos. Entonces sabiendo

u (x, 0)

$u(x,0)$ y

\partial_{t} u (x, 0)

$\partial_tu(x,0)$ , también sabemos

\partial_{t}^{2} u (x, 0)

$\partial^2_tu(x,0)$ y

\partial_{t}^{3} u (x, 0)

$\partial^3_tu(x,0)$ . Podemos ir más lejos calculando otra derivada de (1):

\begin{matrix} (2) & \partial_{t}^{4} tu (X, t) = C^{2} \partial_{X}^{2} \partial_{t}^{2} tu (X, t) . \end{matrix}

$\partial^4_tu(x,t) = c^2 \partial^2_x\partial^2_tu(x,t)\:.\tag{2}$ de modo que

\partial_{t}^{4} tu (X, 0) = C^{2} \partial_{X}^{2} \partial_{t}^{2} tu (X, 0) .

$\partial^4_tu(x,0) = c^2 \partial^2_x\partial^2_tu(x,0)\:.$ Conocemos el lado derecho, así que también sabemos

\partial_{t}^{4} u (x, 0)

$\partial^4_tu(x,0)$ .

Debe ser evidente que esta serie nunca termina: saber $u(x,0)$ y $\partial_tu(x,0)$ , la ecuación diferencial nos permite escribir todas las derivadas temporales $\partial^n_tu(x,0)$ para $n=0,1,2,3,\ldots$ solo computando muchos $x$ -derivados de $u(x,0)$ y $\partial_tu(x,0)$

Al menos formalmente hablando, asumiendo que la solución admite una expansión de Taylor en $t=0$ , la solucion es

tu (X, t) = \sum_{norte = 0}^{+ \infty} \frac{t^{norte}}{norte!} \partial_{t}^{norte} tu (X, 0)

$u(x,t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}\partial^n_tu(x,0)$ donde el lado derecho se conoce tan pronto como no sabemos nada más que la ecuación diferencial,

u (x, 0)

$u(x,0)$ y

\partial_{t} u (x, 0)

$\partial_tu(x,0)$ .

También está claro que, aunque la serie no converja a la solución, conocer las dos primeras condiciones iniciales implica necesariamente conocer también la tercera y la cuarta, y así sucesivamente, utilizando la ecuación. Entonces no puedes arreglarlos libremente sin enfrentar alguna contradicción. Se permiten como máximo dos condiciones iniciales. Si realmente determinan o no una solución (única) depende de muchas otras condiciones de regularidad matemática.

Consulte también physics.stackexchange.com/q/399647/45664 . La respuesta aceptada allí implica que los circuitos integrados derivados de orden superior no se pueden derivar de los circuitos integrados derivados de orden inferior dados porque solo se dan los valores en un solo punto, t = 0 (al menos eso es lo que entiendo), así que estoy confundido.
@ user45664 Sí, cometí un error, 3 y 4, he corregido el texto, ¡gracias! (Tengo algunos problemas con el manejo de números)
@ user45664 La respuesta aceptada que menciona ( physics.stackexchange.com/questions/391222/… ) dice que no puede obtener la segunda condición inicial de la primera: son independientes. Esto esta bien. Sin embargo, puede obtener la $t$ -derivadas de orden superior a partir de estas dos condiciones iniciales utilizando la forma de la EDP de segundo orden en el caso considerado. Esto es exactamente lo que demostré en mi respuesta.
@ Valter Moretti ¿Debería asociarse la c adicional al cuadrado en el término medio de la ecuación con el término de la derecha? (Aprecio mucho su respuesta y todavía estoy trabajando en ella).
@ usuario45664 ¡Sí! Bueno, en realidad también olvidé un factor. $c^2$ en el último término de la identidad. Ya lo he corregido todo.
@ Valter Moretti Respuesta brillante: nunca me di cuenta de la ecuación de onda y los dos circuitos integrados contenían tanta información. Gracias.

Sean E. Lago · Answer 2

La explicación intuitiva es esta: la ecuación de onda es un ejemplo de la segunda ley de Newton donde la aceleración está determinada por la posición y la velocidad. Las derivadas espaciales solo describen las fuerzas internas a $u$ . También puede haber fuerzas externas. por ejemplo, en

{tu}_{t t} = C^{2} {tu}_{X X} + j (X, t)

$u_{tt}=c^2u_{xx}+J(x,t)$

J

$J$ es una fuerza externa. Al igual que con un oscilador armónico simple, para encontrar su comportamiento necesitamos dos datos para fijar las partes homogéneas de la ecuación porque hay dos derivadas.

Sin embargo, en realidad necesitas más de dos condiciones. Necesita lo que se conoce como condiciones de contorno . Especificar qué condiciones se necesitan para resolver cualquier ecuación en particular es parte del estudio de las ecuaciones diferenciales parciales, en general.

Digamos, estoy tratando de describir lo que sucede en un medio $u$ que obedece a la ecuación de onda en una caja de tiempo $t_0$ a $t_f$ . ¿Qué tengo que especificar para concretar eso? No hay una respuesta única a esta pregunta. Ejemplos de lo que se necesita son:

$u$ en los bordes de la caja (puede variar con el tiempo), $u$ al principio, $u$ al final;
$u$ en los bordes de la caja (puede variar con el tiempo), $u$ al principio, $u_t$ al principio;
$u$ en los bordes de la caja (puede variar con el tiempo), $u$ al final, $u_t$ al final; y
$u_x$ en los bordes de la caja (puede variar con el tiempo), el valor promedio de $u$ en el borde de la caja (puede variar con el tiempo), $u$ al principio, $u$ al final.

Este último no estoy 100% seguro de que funcione porque no lo he visto usado fuera del caso estático (es decir, sin dependencia del tiempo).

avestruzcamello · Answer 3

Una vez que la primera condición inicial $u(x,0)=f(x)$ está dado, puedes transformarlo con Fourier; de la ecuación de onda ya sabes la velocidad $c$ con la que se propaga cada una de las sinusoides en la transformada de Fourier. Lo único que no sabes es la dirección en la que se propaga cada uno de ellos. Especificar la derivada del tiempo también da una $(+)$ firmar a todos los que se propagan hacia atrás $x+ct$ Componentes de Fourier y $(-)$ firmar a todos los que se propagan hacia adelante $x-ct$ componentes

Y luego no hay nada más que saber.

También estamos aprovechando el hecho de que la ecuación de onda es lineal, por lo que las superposiciones de soluciones también son soluciones.

Noam Chai · Answer 4

Intuitivamente, sin entrar en detalles matemáticos, creo que todo comienza con cómo llegaste a la ecuación de onda. Básicamente se puede decir que las fuerzas en cada punto son bien conocidas: Tensión y si la cuerda tiene masa también gravedad. Si sabes cuáles son las fuerzas que actúan sobre un cuerpo específico, sabes cuál es la aceleración. Conociendo las fuerzas puedes desarrollar la ecuación de onda. Entonces, la información de la segunda derivada se almacena dentro de esta ecuación. Si tuviera una fuerza neta diferente actuando sobre la cuerda, probablemente tendría otro término o se vería diferente, tal vez no sería una ecuación lineal en absoluto. La ecuación te dice el comportamiento de una entidad física, pero el comportamiento es algo general. Para entender una cuerda específica necesitas más que aceleración. Para saltar de un paso de tiempo a otro, necesita saber cómo cambia x en el tiempo; esa es la velocidad, pero esto, por supuesto, no es suficiente porque puede comenzar desde diferentes ubicaciones/configuraciones, por lo que necesita saber cómo comenzó. ¿Y cómo cambia la aceleración? Siempre que no haya otras fuerzas actuando sobre la cuerda, la aceleración no cambia, por lo que tiene toda su información. Pero, ¿y si se puede? Tienes que saber cómo cambia para agregarlo cuando desarrollaste la ecuación de onda. como verá, esto se suma como fuerza externa, y ahora la ecuación de onda tiene un término fuente. ¿Pero tu ves? La información ya es conocida... ¿Y cómo cambia la aceleración? Siempre que no haya otras fuerzas actuando sobre la cuerda, la aceleración no cambia, por lo que tiene toda su información. Pero, ¿y si se puede? Tienes que saber cómo cambia para agregarlo cuando desarrollaste la ecuación de onda. como verá, esto se suma como fuerza externa, y ahora la ecuación de onda tiene un término fuente. ¿Pero tu ves? La información ya es conocida... ¿Y cómo cambia la aceleración? Siempre que no haya otras fuerzas actuando sobre la cuerda, la aceleración no cambia, por lo que tiene toda su información. Pero, ¿y si se puede? Tienes que saber cómo cambia para agregarlo cuando desarrollaste la ecuación de onda. como verá, esto se suma como fuerza externa, y ahora la ecuación de onda tiene un término fuente. ¿Pero tu ves? La información ya es conocida...

Yen Ta Huang · Answer 5

Es necesario asumir cierto tipo de propiedad como "intuitiva/física" para continuar con cualquier tipo de argumento, porque la "onda" del lenguaje humano está definida de manera bastante imprecisa: para la ecuación de Schrödinger $i \partial_t \psi =H \psi$ solo se necesita una condición inicial.

Puede hacer la misma pregunta para el movimiento de la partícula. es de la ley de newton $F(x,x_t)=m x_{tt}$ que sabe que necesita saber tanto la posición inicial como la velocidad para resolverlo, o puede tener la "intuición" de su experiencia de la vida diaria de que solo la posición no es suficiente, sino que lanza la pelota con una velocidad constante, el resultado es siempre el mismo .

(PD: Escuché que para alguna teoría de campos, la derivada de orden superior podría causarle problemas cuando se quiere cuantificar, como la no unitaridad, pero no sé si le interesa la mecánica cuántica).

Intuitivamente, ¿por qué solo se necesitan dos condiciones iniciales para la ecuación de onda? ¿Por qué no 3 o 4?

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